Question

在数轴上，把表示数1的点称为基准点，记作点。对于两个不同的点M和N，若点M、点N到点的距离相等，则称点M与点N互为基准变换点。例如：图中，点M表示数-1，点N表示数3，它们与基准点的距离都是2个单位长度，点M与点N互为基准变换点。

（1）已知点A表示数a，点B表示数b，点A与点B互为基准变换点。

①若a，则b=         ；若a=4，则b=         ；

②用含a的式子表示b，则b=         ；

（2）对点A进行如下操作：先把点A表示的数乘以，再把所得数表示的点沿着数轴向左移动4个单位长度得到点B。 若点A与点B互为基准变换点，则点A表示的数是______；

（3）点P在点Q的左边，点P与点Q之间的距离为10个单位长度。对P、Q两点做如下操作：点P沿数轴向右移动k（k>0）个单位长度得到P₁，P₂为P₁的基准变换点，点P₂沿数轴向右移动k个单位长度得到P₃，P₄为P₃的基准变换点，……，依此顺序不断地重复，得到P₅，P₆，…，P_n。Q₁为Q的基准变换点，将数轴沿原点对折后Q₁的落点为Q₂，Q₃为Q₂的基准变换点，将数轴沿原点对折后Q₃的落点为Q₄，……，依此顺序不断地重复，得到Q₅，Q₆，…，Q_n。若无论k为何值，P_n 与Q_n 两点间的距离都是6，则n=            。

Answer

（1）①2，-2；②；（2）；（3）4或12.

【解析】

（1）①根据互为基准变换点的定义可得出a+b=2，代入数据即可得出结论；②根据a+b=2，变换后即可得出结论；

（2）设点A表示的数为x，根据点A的运动找出点B，结合互为基准变换点的定义即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；

（3）根据点Pn与点Qn的变化找出变化规律“P4n=m、Q4n=m+8-4n”，再根据两点间的距离公式即可得出关于n的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论．

【解析】
(1)①∵点A表示数a，点B表示数b，点A与点B互为基准变换点，

∵a+b=2.

当a=0时，b=2；当a=4时，b=−2.

故答案为：2；−2.

②∵a+b=2，

∴b=2−a.

故答案为：2−a.

(2)设点A表示的数为x，

根据题意得：x−3+x=2，

解得：x=.

故答案为：.

(3)设点P表示的数为m，则点Q表示的数为m+8，

由题意可知：P1表示的数为m+k,P2表示的数为2−(m+k),P3表示的数为2−m,P4表示的数为m,P5表示的数为m+k，…，

Q1表示的数为−m−6,Q2表示的数为m+6,Q3表示的数为−m−4,Q4表示的数为m+4,Q5表示的数为−m−2,Q6表示的数为m+2，…，

∴P4n=m,Q4n=m+8−4n.

令|m−(m+8−4n)|=4，即|8−4n|=4，

解得：4n=4或4n=12.

故答案为：4或12.