Question

大学生自主创业，集资5万元开品牌专卖店，已知该品牌商品成本为每件a元，市场调查发现日销售量y(件)与销售价x(元/件)之间存在一次函数关系，如下表所示：

若该店某天的销售价定为110元/件，雇有3名员工，则当天正好收支平衡(即支出=商品成本＋员工工资＋应支付的其他费用)．已知员工的工资为每人每天100元，每天还应支付其他费用200元(不包括集资款)．

(1)求日销售量y(件)与销售价x(元/件)之间的函数关系式；

(2)该店现有2名员工，试求每件服装的销售价定为多少元时，该服装店每天的毛利润最大(毛利润=销售收入－商品成本－员工工资－应支付的其他费用)；

(3)在(2)的条件下，若每天毛利润全部积累用于一次性还款，而集资款每天应按其万分之二的利率支付利息，则该店最少需要多少天(取整数)才能还清集资款？

Answer

（1）y=﹣x+160；（2）每件服装的销售价定为130元时，该服装店每天的毛利润最大，最大利润为500元；（3）该店最少需要103天才能还清集资款

【解析】

（1）待定系数法即可求得y与x的函数关系式；

（2）根据收支平衡关系列方程求得商品的成本a，根据毛利润=（售价-成本）×销售量-员工工资-应支付其它费用列函数关系式，配方后根据二次函数性质可得最值情况；

（3）由（2）中的最大毛利润，设需t天能还清借款，根据t天的总利润≥t天的本息和，列不等式求解即可．

（1）由表可知，y是关于x的一次函数，设y=kx+b，

将x=110、y=50，x=115、y=45代入，

得：，

解得：，

∴y=-x+160；

（2）由已知可得：50×110=50a+3×100+200，

解得：a=100，

设每天的毛利润为W，

则W=（x-100）y-2×100-200

=（x-100）（-x+160）-2×100-200

=-x2+260x-16400

=-（x-130）2+500，

∴当x=130时，W取得最大值，最大值为500，

答：每件服装的销售价定为130元时，该服装店每天的毛利润最大，最大利润为500元；

（3）设需t天能还清借款，

则500t≥50000+0.0002×50000t

解得：t≥102，

∵t为整数，

∴t的最小值为103，

答：该店最少需要103天才能还清集资款．