Question

如图所示，在矩形ABCD中，已知AB＝24，BC＝12，点E沿BC边从点B开始向点C以每秒2个单位长度的速度运动；点F沿CD边从点C开始向点D以每秒4个单位长度的速度运动．如果E，F同时出发，用t(0≤t≤6)秒表示运动的时间．

请解答下列问题：

(1)当t为何值时，△CEF是等腰直角三角形？

(2)当t为何值时，以点E，C，F为顶点的三角形与△ACD相似？

Answer

(1)当t＝2时，△CEF是等腰直角三角形；(2)当t为3或1.2时，以点E，C，F为顶点的三角形与△ACD相似．

【解析】

(1)由题意可知BE＝2t，CF＝4t，CE＝12－2t.再由△CEF是等腰直角三角形，∠ECF是直角，列出方程12－2t＝4t，解得t值即可；（2）根据题意，可分△EFC∽△ACD和△FEC∽△ACD两种情况求t值即可.

(1)由题意可知BE＝2t，CF＝4t，CE＝12－2t.

因为△CEF是等腰直角三角形，∠ECF是直角，所以CE＝CF，

所以12－2t＝4t，解得t＝2，

所以当t＝2时，△CEF是等腰直角三角形．

(2)根据题意，可分为两种情况：

①若△EFC∽△ACD，则＝，

所以＝.解得t＝3，

即当t＝3时，△EFC∽△ACD.

②若△FEC∽△ACD，则＝，

所以＝.解得t＝1.2，

即当t＝1.2时，△FEC∽△ACD.

因此，当t为3或1.2时，以点E，C，F为顶点的三角形与△ACD相似．