Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，CD⊥AB于D，P是线段CD上一个动点，以P为直角顶点向下作等腰Rt△BPE，连接AE、DE．

（1）∠BAE的度数是否为定值？若是，求出∠BAE的度数；若不是，说明理由．

（2）直接写出DE的最小值．

Answer

（1）∠BAE=45°；（2）2

【解析】

试题

（1）由已知易得△ABC∽△EBP，∠ABC=∠EBP=45°，从而可得： ，∠CBP=∠ABE，由此可得：△CBP∽△ABE，

从而可得∠BAE=∠BCP；而在△ACB中，由AC=BC，∠BCA=90°，CD⊥AB于D易得∠BCP=45°，由此即可得到∠BAE=45°；

（2）由题意可知，点D是定点，点E是AE上的动点，由此可知，当DE⊥AE时，DE最短，此时，∠AED=90°，结合∠BAE=45°，可得△ADE此时是等腰直角三角形，由此即可求得此时DE的长了.

试题解析：

（1）∠BAE的度数为定值，理由如下：

∵△ABC和△EBP均为等腰直角三角形

∴△ABC∽△EBP，且∠ABC=∠EBP=45°

∴ ，且∠CBP=∠ABE

∴△CBP∽△ABE

∴∠BCP =∠BAE

∵CA=CB，∠ACB=90°，CD⊥AB

∴∠BCP=45°

∴∠BAE=∠BCP=45°

（2）由题意可知，点D是定点，点E是AE上的动点，

∴当DE⊥AE时，DE最短，

此时，∠AED=90°，

又∵∠BAE=45°，

∴此时△ADE是等腰直角三角形，

∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，

∴AB=，

∵CD⊥AB于点D，

∴AD=,

∴DE=2，即DE的最小值为2.