Question

（1）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，求证：∠ACD=∠B；

（2）如图②，在Rt△ABC中，∠C=90°，D、E分别在AC，AB上，且∠ADE=∠B，判断△ADE的形状？并说明理由？

（3）如图③，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠C=90°，∠E=90°，点C，B，E在同一直线上，若AB⊥BD，AB=BD，则CE与AC，DE有什么等量关系，并证明．

Answer

（1）证明见解析（2）直角三角形（3）CE=AC+DE

【解析】

（1）根据直角三角形的性质得出∠ACD+∠A=∠B+∠DCB=90°，再解答即可；（2）根据直角三角形的性质得出∠ADE+∠A=∠A+∠B=90°，再解答即可；（3）由AB⊥BD可得∠DBE+∠ABC=90°，进而可证明∠A=∠DBE，利用AAS可证明△ABC≌△BDE，即可证明BC=DE，AC=BE，从而可证明CE=AC+DE.

（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，

∴∠A+∠B =90°，

∵CD⊥AB，

∴∠ACD+∠A=90°，

∴∠ACD=∠B.

（2）△ADE是直角三角形，理由如下：

∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，

∴∠A+∠B =90°，

∵∠ADE=∠B，

∴∠A+∠ADE=90°，

∴∠AED=90°，即△ADE得直角三角形.

（3）CE=AC+DE，证明如下：

∵点C、B、E在同一直线上，AB⊥BD，

∴∠DBE+∠ABC=90°，

∵∠A+∠ABC=90°，

∴∠A=∠DBE

∵∠C=∠E=90°，AB=BD，∠A=∠DBE，

∴△ABC≌△BDE，

∴BC=DE，AC=BE，

∴CE=CB+BE=DE+AC.