Question

已知△ABC，点D、F分别为线段AC、AB上两点，连接BD、CF交于点E．

（1）若BD⊥AC，CF⊥AB，若BE=4，CE=2，求CD：BF；

（2）若BD平分∠ABC，CF平分∠ACB，如图2所示，猜想∠BEC与∠A的数量关系；并说明理由．

（3）在（2）的条件下，若∠A=60°，试说明：BC=BF+CD．

Answer

（1）1:2（2）∠BEC=90°+∠A（3）证明见解析

【解析】

（1）根据∠BEF=∠CED，∠BFE=∠CDE=90°可证明△BEF∽△CED，根据相似三角形的性质即可得答案；（2）根据角平分线的性质得到∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠ACB，根据三角形内角和定理即可得到结论；（3）在BC上截取BM=BF，连接EM，根据SAS可证明△BEF≌△BEM，可得∠BEF=∠BEM，由（2）可得∠BEC=120°，即可证∠∠BEF=∠BEM=∠CEM=∠CED=60°，即可证明△CEM≌△CED，进而可得CD=CM，即可证明BC=BF+CD.

（1）∵∠BEF=∠CED，∠BFE=∠CDE=90°，

∴△BEF∽△CED，

∴

∵BE=4，CE=2，

∴CD：BF=1：2.

（2）∠BEC =90°+∠A；理由如下：

∵BD平分∠ABC，CF平分∠ACB，

∴∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠ACB，

∴∠BEC=180°-(∠ABC+∠ACB)，

∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，

∴∠BEC=180°-（180°-∠A）=90°+∠A.

（3）如图：在BC上截取BM=BF，连接EM，

∵∠A=60°，

∴由（2）可知∠BEC=90°+∠A=120°，

∴∠BEF=60°，

∵BE平分∠ABC，

∴∠FBE=∠EBM，

∵BF=BM，∠FBE=∠EBM，BE=BE，

∴△BEF≌△BEM（SAS），

∴∠BEM=∠BEF=60°，

∴∠CEM=60°，

∴∠CED=∠CEN=60°，

∵CE平分∠ACB，

∴∠DCE=∠MCE，

∵∠CED=∠CEN=60°，CE=CE，∠DCE=∠MCE，

∴△CEM≌△CED（ASA），

∴CD=CM，

∴BC=BM+CM=BF+CD.