Question

（2017湖北省恩施州）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=30°，以直角边AB为直径作半圆交AC于点D，以AD为边作等边△ADE，延长ED交BC于点F，BC=，则图中阴影部分的面积为______．（结果不取近似值）

Answer

．

【解析】【解析】
如图所示，设半圆的圆心为O，连接DO，过D作DG⊥AB于点G，过D作DN⊥CB于点N．在Rt△ABC中，∵∠BAC=30°，∴∠ACB=60°，∠ABC=90°．∵以AD为边作等边△ADE，∴∠EAD=60°，∴∠EAB=60°+30°=90°，可得：AE∥BC，则△ADE∽△CDF，∴△CDF是等边三角形．在Rt△ABC中，∵∠BAC=30°，BC=，∴AC=，AB=6，∠DOG=60°，则AO=BO=3，故DG=DO•sin60°=，则AD=，DC=AC﹣AD=，故DN=DC•sin60°=× =，则S阴影=S△ABC﹣S△AOD﹣S扇形DOB﹣S△DCF

=××6﹣×3×﹣﹣××=．故答案为：．