Question

如图，一次函数y=2x+4的图象与x，y轴分别相交于点A，B，以AB为边作正方形ABCD（点D落在第四象限）．

（1）求点A，B，D的坐标；

（2）联结OC，设正方形的边CD与x相交于点E，点M在x轴上，如果△ADE与△COM全等，求点M的坐标．

Answer

（1）A（-2，0），B（0，4），D（2，-2）；（2）M（5，0）．

【解析】

(1)由于一次函数y=2x+4的图象与x、y轴分别交于点A、B，所以利用函数解析式即可求出A、B两点的坐标，然后作DF⊥x轴于点F，由四边形ABCD是正方形可以得到∠BAD=∠AOB=∠AFD=90º，AB=AD，接着证明△BAO≌△ADF，最后利用全等三角形的性质可以得到DF=AO=2，AF=BO=4，从而求出点D的坐标；

(2) 过点C作CG⊥y轴于G，连接OC，作CM⊥OC交x轴于M，用求点D的方法求得点C的坐标为（4，2），得出OC=2，由A、B的坐标得到AB=2，从而OC=AB=AD，根据△ADE与△COM全等，利用全等三角形的性质可知OM=AE，即OA=EM=2，利用C、D的坐标求出直线CD的解析式，得出点E的坐标，根据EM=2，即可求出点M的坐标.

【解析】
（1）∵一次函数y=2x+4的图象与x，y轴分别相交于点A，B，

∴A（-2，0），B（0，4），

∴OA=2，OB=4，

如图1，过点D作DF⊥x轴于F，

∴∠DAF+∠ADF=90°，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=AB，∠BAD=90°，

∴∠DAF+∠BAO=90°，

∴∠ADF=∠BAO，

在△ADF和△BAO中，，

∴△ADF≌△BAO（AAS），

∴DF=OA=2，AF=OB=4，

∴OF=AF-OA=2，

∵点D落在第四象限，

∴D（2，-2）；

（2）如图2，过点C作CG⊥y轴于G，连接OC，作CM⊥OC交x轴于M，

同（1）求点D的方法得，C（4，2），

∴OC==2，

∵A（-2，0），B（0，4），

∴AB=2，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=AB=2=OC，

∵△ADE与△COM全等，且点M在x轴上，

∴△ADE≌△OCM，

∴OM=AE，

∵OM=OE+EM，AE=OE+OA，

∴EM=OA=2，

∵C（4，2），D（2，-2），

∴直线CD的解析式为y=2x-6，

令y=0，

∴2x-6=0，

∴x=3，

∴E（3，0），

∴OM=5，

∴M（5，0）．

故答案为：(1)A(-2，0)，B(0，4)，D(2，-2)；(2)M(5，0).