Question

已知，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=3，BC=10，AD=5，M是BC边上的任意一点，联结DM，联结AM．

（1）若AM平分∠BMD，求BM的长；

（2）过点A作AE⊥DM，交DM所在直线于点E．

①设BM=x，AE=y求y关于x的函数关系式；

②联结BE，当△ABE是以AE为腰的等腰三角形时，请直接写出BM的长．

Answer

（1）1或9；（2）①y=．②1或9或4．

【解析】

(1)考虑∠DMB为锐角和钝角两种情况即可解答；

(2) ①作MH⊥AD于H，根据勾股定理，用被开方式含x的二次根式表示DM，根据△ADM面积的两种算法建立等式，即可求出y关于x的函数关系式；②分AB=AE和EA=EB两种情况讨论求解.

【解析】
（1）如图1中，作DH⊥BC于H．则四边形ABHD是矩形，AD=BH=5，AB=DH=3．

当MA平分∠DMB时，易证∠AMB=∠AMD=∠DAM，可得DA=DM=5，

在Rt△DMH中，DM=AD=5，DH=3，

∴MH===4，

∴BM=BH-MH=1，

当AM′平分∠BM′D时，同法可证：DA=DM′，HM′=4，

∴BM′=BH+HM′=9．

综上所述，满足条件的BM的值为1或9．

（2）①如图2中，作MH⊥AD于H．

在Rt△DMH中，DM==，

∵S△ADM=•AD•MH=•DM•AE，

∴5×3=y•

∴y=．

②如图3中，当AB=AE时，y=3，此时5×3=3，

解得x=1或9．

如图4中，当EA=EB时，DE=EM，

∵AE⊥DM，

∴DA=AM=5，

在Rt△ABM中，BM==4．

综上所述，满足条件的BM的值为1或9或4．

故答案为：（1）1或9；（2）①y=．②1或9或4．