Question

如图8，在平面直角坐标系xOy中，A(0，8)，B(0，4)，点C在x轴的正半轴上，点D为OC的中点．

（1）当BD与AC的距离等于2时，求线段OC的长；

（2）如果OE⊥AC于点E，当四边形ABDE为平行四边形时，求直线BD的解析式．

Answer

（1）；（2） y＝－x＋4.

【解析】

（1）作BF⊥AC于点F，取AB的中点G，确定出G坐标，由平行线间的距离相等求出BF的长，在直角三角形ABF中，利用斜边上的中线等于斜边的一半求出FG的长，进而确定出三角形BFG为等边三角形，即∠BAC=30°，设OC=x，则有AC=2x，利用勾股定理表示出OA，根据OA的长求出x的值，即可确定出C坐标；

（2）根据平行四边形的性质可得出DE⊥OC，利用等腰三角形的三线合一可得出△OEC为等腰三角形，结合OE⊥AC可得出△OEC为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得出点C、D的坐标，由点B、D的坐标，利用待定系数法即可求出直线BD的解析式．

（1）如图1，作BF⊥AC于点F，取AB的中点G，则G（0，6），

∵BD∥AC，BD与AC的距离等于2，

∴BF=2，

∵在Rt△ABF中，∠AFB=90°，AB=4，点G为AB的中点，

∴FG=BG=AB=2，

∴△BFG是等边三角形，∠ABF=60°，

∴∠BAC=30°，

设OC=x，则AC=2x，

根据勾股定理得：OA==x，

∵OA=8，

∴x=，

∵点C在x轴的正半轴上，

∴点C的坐标为（，0）；

（2）如图：

∵四边形ABDE为平行四边形，

∴DE∥AB，

∴DE⊥OC，

∵点D为OC的中点，

∴△OEC为等腰三角形，

∵OE⊥AC，

∴△OEC为等腰直角三角形，

∴∠C=45°，

∴点C的坐标为（8，0），点D的坐标为（4，0），

设直线BD的解析式为y=kx+b（k≠0），

将B（0，4）、D（4，0）代入y=kx+b，

得：，解得：，

∴直线BD的解析式为y=-x+4．