Question

阅读下列例题的解答过程：解方程：3（x﹣2）²+7（x﹣2）+4=0．

【解析】
设 x﹣2=y，则原方程化为：3y²+7y+4=0．

∵a=3，b=7，c=4，∴b²﹣4ac=7²﹣4×3×4=1．

∴y= =．∴y₁=﹣1，y₂=﹣ ．

当 y=﹣1 时，x﹣2=﹣1，∴x=1；

当 y=﹣时，x﹣2=﹣，∴x= ．

∴原方程的解为：x₁=1，x₂=．

（1）请仿照上面的例题解一元二次方程：2（x﹣3）²﹣5（x﹣3）﹣7=0；

（2）若（a²+b²）（a²+b²﹣2）=3，求代数式 a²+b²的值．

Answer

（1）x1= ，x2=2；（2）代数式 a2+b2 的值为 3．

【解析】

（1）设x-3=y，则原方程化为2y2-5y-7=0，求出y，再求出x即可；

（2）设a2+b2=y，则原方程化为y（y-2）=3，求出y，再求出a2+b2即可．

（1）2（x-3）2-5（x-3）-7=0，

设x-3=y，则原方程化为：2y2-5y-7=0，

∵a=2，b=-5，c=-7，

∴b2-4ac=（-5）2-4×2×（7）=81，

y=，

∴y1=，y2=-1，

当y=时，x-3=，

解得：x=；

当y=-1时，x-3=-1，

解得：x=2；

所以原方程的解为：x1=，x2=2；

（2）（a2+b2）（a2+b2-2）=3，

设a2+b2=y，则原方程化为：y（y-2）=3，

即y2-2y-3=0，

（y-3）（y+1）=0，

y-3=0，y+1=0，

y1=3，y2=-1，

当y=3时，a2+b2=3；

当y=-1时，a2+b2=-1，

∵两个数的平方和具有非负性，

∴此时不行，

即代数式a2+b2的值为3．