Question

已知，如图，BC是以线段AB为直径的⊙O的切线，AC交⊙O于点D，过点D作弦DE⊥AB，垂足为点F，连接BD、BE．

（1）仔细观察图形并写出三个不同类型的正确结论：

①　   　，②　   　，③　   　，（不添加其它字母和辅助线，不必证明）；

（2）若∠A=30°，CD=2，求⊙O的半径r．

Answer

（1）结论：DF=FE，BD=BE，△BDF≌△BEF，∠A=∠E等；（2）

【解析】

（1）结论可以有：①DF=FE，BD=BE，②△BDF≌△BEF，③∠A=∠E，∠BDF=∠BEF④BC⊥AB，AD⊥BD，DE∥BC等；由BC是 O的切线，DF⊥AB，得∠AFD=∠CBA=90°；根据DE∥BC和垂径定理知，弧BD=弧BE，DF=FE，BD=BE，由等边对等角得∠E=∠EDB；再由圆周角定理得∠A=∠E，可证△BDF≌△BEF，△BDF∽△BAD；等．
（2）当∠A=30°时，BD=AB=r，∠C=60°，再根据Rt△BCD中，tan60°可求得r=2 ．

【解析】
（1）结论：DF=FE，BD=BE，△BDF≌△BEF，∠A=∠E等；

理由：∵AB是直径，DE⊥AB，

∴DF=EF，弧BD=弧BE，

∴BD=BE，

∴Rt△BDF≌Rt△BEF（HL），

根据圆周角定理可知：∠A=∠E．

故答案为DF=EF，BD=BE，Rt△BDF≌Rt△BEF；

（2）∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

又∵∠A=30°，

∴BD=ABsinA=ABsin30°= AB=r；

又∵BC是⊙O的切线，

∴∠CBA=90°，

∴∠C=60°；

在Rt△BCD中，

CD=2，

∴ =tan60°，

∴r=2 ．