Question

如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，OD⊥AC于点D，过点A作⊙O的切线AP，AP与OD的延长线交于点P，连接PC、BC．

1.猜想：线段OD与BC有何数量和位置关系，并证明你的结论．

2.求证：PC是⊙O的切线

Answer

1.见解析

2.见解析

【解析】(1)由已知得出OD是△ABC的中位线，从而得出结论

(2) 连接OC，证得△OAP≌△OCP，得出∠OCP＝∠OAP，从而得出结论

(1)猜想：OD∥BC，CD＝BC．

证明：∵OD⊥AC，

∴AD＝DC

∵AB是⊙O的直径，

∴OA＝OB

∴OD是△ABC的中位线，

∴OD∥BC，OD＝BC

(2)证明：连接OC，设OP与⊙O交于点E．

∵OD⊥AC，OD经过圆心O，

∴，即∠AOE＝∠COE

在△OAP和△OCP中，

∵OA＝OC，OP＝OP，

∴△OAP≌△OCP，

∴∠OCP＝∠OAP

∵PA是⊙O的切线，

∴∠OAP＝90°．

∴∠OCP＝90°，即OC⊥PC

∴PC是⊙O的切线．