Question

在△ABC 中，AB=BC=2，∠ABC=120°，将△ABC 绕点 B 顺时针旋转角α（0°＜α＜90°）得△A₁BC₁，A₁B 交 AC 于点 E，A₁C₁ 分别交 AC、BC 于 D、F 两点．

（1）如图 1，观察并猜想，在旋转过程中，线段 EA₁ 与 FC 有怎样的数量关系？ 并证明你的结论；

（2）如图 2，当α=30°时，试判断四边形 BC₁DA 的形状，并说明理由；

（3）在（2）的情况下，求 ED 的长．

Answer

（1）EA1=FC．证明见解析；（2）四边形 BC1DA 是菱形．证明见解析；（3）ED=2-.

【解析】

（1）根据旋转的性质得到对应边相等和对应角相等，从而得到全等三角形，根据全等三角形的性质进行证明；

（2）在（1）的基础上，易发现该四边形的四条边相等，从而证明是菱形；

（3）根据菱形的性质和解直角三角形的知识以及等腰三角形的性质求解．

（1）EA1=FC．

证明：∵AB=BC，

∴∠A=∠C．

由旋转可知，AB=BC1，∠A=∠C1，∠ABE=∠C1BF，

∴△ABE≌△C1BF．

∴BE=BF，又∵BA1=BC，

∴BA1﹣BE=BC﹣BF．即 EA1=FC．

（2）四边形 BC1DA 是菱形．

证明：∵∠A1=∠ABA1=30°，

∴A1C1∥AB，同理 AC∥BC1．

∴四边形 BC1DA 是平行四边形． 又∵AB=BC1，

∴四边形 BC1DA 是菱形．

（3）过点E作EG⊥AB于点G，则AG=BG=1．

在Rt△AEG中，AE=.

由（2）知四边形BC1DA是菱形，

∴AD=AB=2，

∴ED=AD-AE=2-．