Question

如图，在平面直角坐标系中，已知点A 的坐标是(4,0)，并且0A=OC=4OB,动点P在过A,B，C三点的抛物线上.

(1) 求抛物线的解析式;

(2)过动点P作PE垂直于y轴于点E,交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为F,连接EF,当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标;

(3) 是否存在点P,使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形? 若存在，求出所有符合条件的点P的坐标; 若不存在，说明理由

              

Answer

(1) y=-x2+3x+4;(2)P（，2）或（，2）;(3)存在，P的坐标是（2，6）或（-2，-6），理由见解析

【解析】

试题（1）只需求出A、B、C三点的坐标，然后运用待定系数法就可求出抛物线的解析式；

（2）可分两种情况（①以C为直角顶点，②以A为直角顶点）讨论，然后根据点P的纵、横坐标之间的关系建立等量关系，就可求出点P的坐标；

（3）连接OD，易得四边形OFDE是矩形，则OD=EF，根据垂线段最短可得当OD⊥AC时，OD（即EF）最短，然后只需求出点D的纵坐标，就可得到点P的纵坐标，就可求出点P的坐标．

试题解析：（1）由A（4，0），可知OA=4，

∵OA=OC=4OB，

∴OA=OC=4，OB=1，

∴C（0，4），B（-1，0）．

设抛物线的解析式是y=ax2+bx+c，

则，解得：，

则抛物线的解析式是：y=-x2+3x+4；

（2）连接OD，由题意可知，四边形OFDE是矩形，

则OD=EF．根据垂线段最短，可得当OD⊥AC

时，OD最短，即EF最短．

根据等腰三角形的性质，D是AC的中点．

又∵DF∥OC，∴DF=OC=2，

∴点P的纵坐标是2．则-x2+3x+4=2，

解得：x=，

∴当EF最短时，点P的坐标是：（，2）或（，2）

（3）存在．

第一种情况，当以C为直角顶点时，过点C作CP1⊥AC，

交抛物线于点P1．过点P1作y轴的垂线，垂足是M．

∵∠ACP1=90°，∴∠MCP1+∠ACO=90°．

∵∠ACO+∠OAC=90°，∴∠MCP1=∠OAC．

∵OA=OC，∴∠MCP1=∠OAC=45°，

∴∠MCP1=∠MP1C，∴MC=MP1，

设P（m，-m2+3m+4），

则m=-m2+3m+4-4，

解得：m1=0（舍去），m2=2．

∴-m2+3m+4=6，

即P（2，6）

第二种情况，当点A为直角顶点时，过A作AP2，

AP2交抛物线于点P2，过点P2作y轴的垂线，垂足

是N，AP2交y轴于点F．

∴P2N∥x轴，由∠CAO=45°，∴∠OAP=45°，

∴∠FP2N=45°，AO=OF．

∴P2N=NF，设P2（n，-n2+3n+4），

则n=（-n2+3n+4）+4，

解得：n1=-2，n2=4（舍去），

∴-n2+3n+4=-6，

则P2的坐标是（-2，-6）

综上所述，P的坐标是（2，6）或（-2，-6）．