Question

在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC，D 是 AB 的中点，点 E 是边 AC 上的一动点，点F 是边 BC 上的一动点．

（1）若 AE=CF，试证明 DE=DF；

（2）在点 E、点 F 的运动过程中，若 DE⊥DF，试判断 DE 与 DF 是否一定相等？ 并加以说明．

（3）在（2）的条件下，若 AC=2，四边形 ECFD 的面积是一个定值吗？若不是， 请说明理由，若是，请直接写出它的面积．

Answer

（1）详见解析；（2）详见解析;(3）四边形 ECFD的面积是一定值1．

【解析】

(1)根据已知条件，运用SAS判定△DAE≌△DCF,即可得出对应边DE= DF,

(2)根据 ASA判定△DAE≌△DCF,即可得出DE=DF，

(3)根据△DAE≌△DCF,可得S△ADE =S△DCF,进而得出S四边形ECFD =S△DCF +S△CDE =S△ADE +S△CDE=S△ACD,再根据S△ACD=S△ABC=1,即可解题。

【解析】
（1）∵△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB的中点，

∴∠A=∠DCF=45°，CD=AB=AD，

在△DAE和△DCF中，

，

∴△DAE≌△DCF（SAS），

∴DE=DF；

（2）DE与DF一定相等．

证明：∵△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB的中点，

∴∠A=∠DCF=45°，CD=AB=AD，CD⊥AB，

∴∠ADC=∠EDF=90°，

∴∠ADE=∠CDF，

在△DAE和△DCF中，

，

∴△DAE≌△DCF（ASA），

∴DE=DF；

（3）四边形 ECFD的面积是一定值1．

由（2）可得，△DAE≌△DCF，

∴△ADE的面积=△DCF的面积，

∴四边形ECFD的面积=△DCF的面积+△CDE的面积=△ADE的面积+△CDE的面积=△ACD的面积，

又∵∠ACB=90°，AC=BC=2，

∴△ABC的面积=×2×2=2，

又∵D是AB的中点，

∴△ACD的面积=×△ABC的面积=1，

即四边形ECFD的面积=1．