Question

如图1，⊙O是△ABC的外接圆，连接AO，若∠BAC+∠OAB=90°．

（1）求证：

（2）如图2，作CD⊥AB交于D，AO的延长线交CD于E，若AO=3，AE=4，求线段AC的长．

Answer

（1）详见解析；（2）

【解析】

（1）连BO并延长BO交AC于T．只要证明BT⊥AC，利用垂径定理即可解决问题；
（2）延长AO并交⊙O于F，连接CF．在Rt△AFC中，求出CF，AF即可解决问题.

（1）证明：连BO并延长BO交AC于T．

∵ AO=BO，

∴∠ OAB=∠ OBA，

又∵ ∠ BAC+∠ OAB=90°，

∴ ∠ BAC+∠ OBA=90°，

∴ ∠ BTA=90°，

∴ BT⊥AC，

∴ ．

（2）延长AO并交O 于F，连接CF．

∵ CD⊥ AB于D，

∴ ∠ CDA=90°，

∴ ∠ OAB+∠ A ED=90°，

∵ ∠ OAB+∠ BAC=90°，

∴ ∠ AED=∠ BAC=∠ FEC，

∵ AF为⊙ O直径，

∴ ∠ ACF=90°，

同理：∠ FCE=∠ BAC，

∴ ∠ FEC= ∠ FCE，

∴FE=FC，

∵AO=3，AE=4，

∴OE=1，FE=FC=2，

在Rt△FCA中

∴ AC= =4