Question

我市东湖高新技术开发区某科技公司，用480万元购得某种产品的生产技术后，并进一步投入资金1520万元购买生产设备，进行该产品的生产加工，已知生产这种产品每件还需成本费40元．经过市场调研发现：该产品的销售单价不低于100元，但不超过200元．设销售单价为x（元），年销售量为y（万件），年获利为w（万元）该产品年销售量y（万件）与产品售价x（元）之间的函数关系如图所示．

（1）直接写出y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；

（2）求第一年的年获利w与x间的函数关系式，并说明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损？并求当盈利最大或亏损最小时的产品售价；

（3）在（2）的条件下．即在盈利最大或亏损最小时，第二年公司重新确定产品售价，能否使两年共盈利不低于1370万元？若能，求出第二年的售价在什么范围内；若不能，请说明理由．

Answer

（1）y=﹣x+30（100≤x≤200）；（2）x=170，w最大值=1690＜1520+480=2000，第一年公司亏损，最少亏损是310万元，此时售价为170元；（3）当两年共盈利不低于1370万元时，160≤x≤180．

【解析】

（1）利用待定系数法求解可得；
（2）根据“年获利=（售价-成本价）×销售量”列出函数解析式，配方成顶点式得出其获利最大值，与前期总投入480+1520比较可得；
（3）根据“年获利=1370+前期最少亏损钱数”求得x的值，从而得出答案．

【解析】
（1）设y=kx+b，

将（100，20）和（200，10）代入，得：，

解得： ，

∴y=﹣ x+30（100≤x≤200）；

（2）w=（﹣x+30）（x﹣40）

=﹣x2+34x﹣1200

=﹣（x﹣170）2+1690，

∵﹣＜0，

∴x=170，w最大值=1690＜1520+480=2000，第一年公司亏损，最少亏损是310万元，此时售价为170元；

（3）当﹣x2+34x﹣1200=1370+310=1680时，

解得：x1=160，x2=180，

结合图象当两年共盈利不低于1370万元时，160≤x≤180．