Question

在△ABC和△ADE中，AB=AC，∠BAC=120°，∠ADE=90°，∠DAE=60°，F为BC中点，连接BE、DF，G、H分别为BE，DF的中点，连接GH．

（1）如图1，若D在△ABC的边AB上时，请直接写出线段GH与HF的位置关系　   　，=　   　．

（2）如图2，将图1中的△ADE绕A点逆时针旋转至图2所示位置，其它条件不变，（1）中结论是否改变？请说明理由；

（3）如图3，将图1中的△ADE绕A点顺时针旋转至图3所示位置，若C、D、E三点共线，且AE=2，AC=，请直接写出线段BE的长　   　．

Answer

（1）GH⊥HF，；（2）结论不变；（3）.

【解析】

（1）如图1中，连接DG，FG．根据直角三角形斜边中线的性质，可得GD=GF，再证明△DGF是等边三角形即可解决问题；
（2）结论不变．如图2中，延长ED至S，使DS=DE，连接AS，BS，CE，FG，DG．理由三角形的中位线定理，证明GD=GF，△GDF是等边三角形即可解决问题；
（3）如图3中，延长ED到H，使得DH=DE，连接AH，BH，作BM⊥EC于M，设BC交AH于点O．想办法证明∠BHE=60°，解直角三角形求出BM，ME即可解决问题；

【解析】
（1）如图1中，连接DG，FG．

∵AB=AC，BF=CF，

∴AF⊥ BC，∴ ∠ BAF= ∠ CAF=60°，

∵ ED⊥ AB，

∴ ∠ BFE=∠ BDE=90°，

∵BG=GE，

∴DG=BE，GF=BE，

∴DG=FG，∵DH=HF，

∴GH⊥ DF，

∵ ∠ BAE=60°，

∴ ∠ ABE+∠ AEB=120°，

∵ DG=BG=GF=GE，

∴ ∠ GBD=∠ GDB，∠ GEF=∠GFE，

∴ ∠ BGD+∠ EGF=120°，

∴ ∠ DGF=60°，

∴ △ DGF是等边三角形，

∴=tan60°= ．

故答案为GH⊥ HF， =．

（2）结论不变．

理由：如图2中，延长ED至S，使DS=DE，连接AS，BS，CE，FG，DG．

∵ ∠ ADE=90°

∴ AS=AE，∠DAE=∠DAS=60°

∴ ∠ BAC=∠SAE=120°

∴ ∠ SAB= ∠ EAC

∵AB=AC

∴ △ ABS ≌ △ ACE

∴ BS=CE，∠ ABS=∠ACE

∵F，G分别为BC，BE中点

∴FG∥CE，FG=CE，

同理：DG∥BS，DG=BS，

∴DG=FG，

∵H为DF中点，

∴ GH⊥ HF，

延长SB交CE延长线于T，

∵ ∠ ABS+∠ABT=∠ ACE+∠ ABT=180°，

∴ ∠ BAC+∠ T=120°，

∴ ∠ T=60°，

延长FG交BT于P，

∴ ∠ T=∠ BPF=∠ DGF=60°，

∴ ∠HGF=30°，

∴ =．

（3）如图3中，延长ED到H，使得DH=DE，连接AH，BH，作BM⊥EC于M，设BC交AH于点O．

∵AD⊥EH，ED=DH，

∴AE=AH，

∴∠AEH=∠AHE=30°，

∴∠EAH=∠BAC=120°，

∴∠BAH=∠CAE，

∵AB=AC，AH=AE，

∴△BAH ≌ △ CAE（SAS），

∴ ∠ BHA=∠ AEC=30°，BH=CE，

∴∠ OBA=∠OHC=30°，

∵∠AOB=∠COH，

∴△AOB ∽ △COH，

∴ = ，

∴ =，∵∠ AOC=∠ BOH，

∴ △ AOC∽ △ BOH，

∴∠BHO=∠AOC=30°，

∴∠BHE=30°+30°=60°，

在Rt△ADE中，∵AE=2，∠ AED=30°，

∴AD=1，ED=DH=，

在Rt△ADC中，CD== ，

∴BH=EC=2 ，

在Rt△BMH中，HM=（2+），BM=HM=（2+3），

∴EM=EH﹣HM=2﹣（2+ ）= ﹣1，

在Rt△EBM中，BE= = =．

故答案为 ．