Question

如图，已知⊙O的半径为1，AC是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线BC，E是BC的中点，AB交⊙O于D点．

(1)直接写出ED和EC的数量关系：_________；

(2)DE是⊙O的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理由；

(3)填空：当BC=_______时，四边形AOED是平行四边形，同时以点O、D、E、C为顶点的四边形是_______．

Answer

ED=EC 2 正方形

【解析】

(1)连结CD，如图，由圆周角定理得到∠ADC=90°，然后根据直角三角形斜边上的中线直线得到DE=CE=BE；

(2)连结OD，如图，利用切线性质得∠2+∠4=90°，再利用等腰三角形的性质得∠1=∠2，∠3=∠4，所以∠1+∠3=∠2+∠4=90°，于是根据切线的判定定理可判断DE是⊙O 的切线；(3)要判断四边形AOED是平行四边形，则DE=OA=1，所以BC=2，当BC=2时，△ACB为等腰直角三角形，则∠B=45°，又可判断△BCD为等腰直角三角形，于是得到DE⊥BC，DE=BC=1，所以四边形AOED是平行四边形；然后利用OD=OC=CE=DE=1，∠OCE=90°，可判断四边形OCED为正方形．

（1）连结CD，如图，

∵AC是⊙O的直径，

∴∠ADC=90°，

∵E是BC的中点，

∴DE=CE=BE；

（2）DE是⊙O的切线．理由如下：

连结OD，如图，

∵BC为切线，

∴OC⊥BC，

∴∠OCB=90°，即∠2+∠4=90°，

∵OC=OD，ED=EC，

∴∠1=∠2，∠3=∠4，

∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°，即∠ODB=90°，

∴OD⊥DE，

∴DE是⊙O的切线；

（3）当BC=2时，

∵CA=CB=2，

∴△ACB为等腰直角三角形，

∴∠B=45°，

∴△BCD为等腰直角三角形，

∴DE⊥BC，DE=BC=1，

∵OA=DE=1，AO∥DE，

∴四边形AOED是平行四边形；

∵OD=OC=CE=DE=1，∠OCE=90°，

∴四边形OCED为正方形．

故答案为ED=EC；2，正方形．