Question

(1)观察猜想

如图(1)，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,点D是BC的中点．以点D为顶点作正方形DEFG，使点A，C分别在DG和DE上，连接AE，BG，则线段BG和AE的数量关系是_____；

(2)拓展探究

将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于0°，小于或等于360°），如图2，则(1)中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由.

(3)解决问题

若BC=DE=2，在(2)的旋转过程中，当AE为最大值时，直接写出AF的值．

　

Answer

（1）BG＝AE．

（2）成立．

如图②，

连接AD．∵△ABC是等腰三直角角形，∠BAC＝90°，点D是BC的中点．

∴∠ADB＝90°，且BD＝AD．

∵∠BDG＝∠ADB－∠ADG＝90°－∠ADG＝∠ADE，DG＝DE．

∴△BDG≌△ADE，∴BG＝AE．…………………………………………7分

（3）由（2）知，BG＝AE，故当BG最大时，AE也最大．

正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转270°时，BG最大，如图③．

若BC＝DE＝2，则AD＝1，EF＝2．

在Rt△AEF中，AF2＝AE2＋EF2＝(AD＋DE)2＋EF2＝(1＋2)2＋22＝13．

∴AF＝

【解析】

【解析】
（1）BG＝AE．

（2）成立．

如图②，连接AD．

∵△ABC是等腰三直角角形，∠BAC＝90°，点D是BC的中点．

∴∠ADB＝90°，且BD＝AD．

∵∠BDG＝∠ADB－∠ADG＝90°－∠ADG＝∠ADE，DG＝DE．

∴△BDG≌△ADE，∴BG＝AE．

（3）由（2）知，BG＝AE，故当BG最大时，AE也最大．Z+X+X+K]

因为正方形DEFG在绕点D旋转的过程中，G点运动的图形是以点D为圆心，DG为半径的圆，故当正方形DEFG旋转到G点位于BC的延长线上（即正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转270°）时，BG最大，如图③．

若BC＝DE＝2，则AD＝1，EF＝2．

在Rt△AEF中，AF2＝AE2＋EF2＝(AD＋DE)2＋EF2＝(1＋2)2＋22＝13．

∴AF＝．

即在正方形DEFG旋转过程中，当AE为最大值时，AF＝．