Question

如图，已知 AB 是⊙O 的直径，点 C、D 在⊙O 上，过 D 点作 PF∥AC交⊙O 于 F，交 AB 于点 E，∠BPF=∠ADC

（1）求证：AE•EB=DE•EF．

（2）求证：BP 是⊙O 的切线：

（3）当的半径为，AC=2，BE=1 时，求 BP 的长，

Answer

（1）证明见解析．（2）证明见解析．（3）2．

【解析】

试题（1）根据圆周角定理得出∠ACB=90°，∠CAB+∠ABC=90°，进而得出∠PEB+∠BPF=90°，从而证得PB是ʘO的切线；

（2）证得△AEF∽△DEB，从而得出，即可证得AE•EB=DE•EF；

（3）先根据勾股定理求得BC的长，进而根据△ABC∽△EPB，对应边成比例即可求得BP的长．

试题解析：（1）证明：连结BC，

∵AB是ʘO的直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠CAB+∠ABC=90°，

又∵∠ABC=∠ADC，∠ADC=∠BPF，

∵PF∥AC，

∴∠CAB=∠PEB，

∴∠PEB+∠BPF=90°，

∴PB⊥AB，

∴PB是ʘO的切线；

（2）连结AF、BD．

在△AEF和△DEB中，

∠AEF=∠DEB．∠AFE=∠DBE，

∴△AEF∽△DEB，

∴，即AE•EB=DE•EF；

（3）在Rt△ABC中，BC2=（2）2-22

∴BC=4，

在Rt△ABC和Rt△EPB中，

∠ABC=∠ADC=∠BPF，

∴△ABC∽△EPB，

∴，

∴BP==2．