Question

如图（1），P 为△ABC 所在平面上一点，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则点 P 叫做△ABC 的费马点．

（1）如果点 P 为锐角△ABC 的费马点，且∠ABC=60°．

①求证：△ABP∽△BCP；

②若 PA=3，PC=4，则 PB=     ．

（2）已知锐角△ABC，分别以 AB、AC 为边向外作正△ABE 和正△ACD，CE 和 BD相交于 P 点．如图（2）

①求∠CPD 的度数；

②求证：P 点为△ABC 的费马点．

Answer

（1）①证明见解析；②；（2）①60°；②证明见解析；

【解析】

试题（1）①根据题意，利用内角和定理及等式性质得到一对角相等，利用两角相等的三角形相似即可得证；

②由三角形ABP与三角形BCP相似，得比例，将PA与PC的长代入求出PB的长即可；

（2）①根据三角形ABE与三角形ACD为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两对边相等，两个角为60°，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到三角形ACE与三角形ABD全等，利用全等三角形的对应角相等得到∠1=∠2，再由对顶角相等，得到∠5=∠6，即可求出所求角度数；

②由三角形ADF与三角形CPF相似，得到比例式，变形得到积的恒等式，再由对顶角相等，利用两边成比例，且夹角相等的三角形相似得到三角形AFP与三角形CFD相似，利用相似三角形对应角相等得到∠APF为60°，由∠APD+∠DPC，求出∠APC为120°，进而确定出∠APB与∠BPC都为120°，即可得证．

试题解析：（1）证明：①∵∠PAB+∠PBA=180°﹣∠APB=60°，∠PBC+∠PBA=∠ABC=60°，

∴∠PAB=∠PBC，

又∵∠APB=∠BPC=120°，

∴△ABP∽△BCP，

②【解析】
∵△ABP∽△BCP，

∴，

∴PB2=PA•PC=12，

∴PB=2；

（2）【解析】
①∵△ABE与△ACD都为等边三角形，

∴∠BAE=∠CAD=60°，AE=AB，AC=AD，

∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC，即∠EAC=∠BAD，

在△ACE和△ABD中，

，

∴△ACE≌△ABD（SAS），

∴∠1=∠2，

∵∠3=∠4，

∴∠CPD=∠6=∠5=60°；

②证明：∵△ADF∽△CFP，

∴AF•PF=DF•CF，

∵∠AFP=∠CFD，

∴△AFP∽△CDF．

∴∠APF=∠ACD=60°，

∴∠APC=∠CPD+∠APF=120°，

∴∠BPC=120°，

∴∠APB=360°﹣∠BPC﹣∠APC=120°，

∴P点为△ABC的费马点．