Question

已知二次函数.

（1）当二次函数的图象经过坐标原点O（0，0）时，求二次函数的解析式；

（2）如图，当m=2时，该抛物线与y轴交于点C，顶点为D，求C、D两点的坐标；

（3）在（2）的条件下，x轴上是否存在一点P，使得PC+PD最短？若P点存在，求出P点的坐标；若P点不存在，请说明理由。

Answer

【解析】
（1）∵二次函数的图象经过坐标原点O（0，0），

∴代入得：，解得：m=±1。

∴二次函数的解析式为：或。

（2）∵m=2，∴二次函数为：。

∴抛物线的顶点为：D（2，－1）。

当x=0时，y=3，

∴C点坐标为：（0，3）。

（3）存在，当P、C、D共线时PC+PD最短。

过点D作DE⊥y轴于点E，

∵PO∥DE，∴△COP∽△CED。

∴，即，解得：

∴PC+PD最短时，P点的坐标为：P（，0）。

【解析】

试题（1）根据二次函数的图象经过坐标原点O（0，0），直接代入求出m的值即可。

（2）把m=2，代入求出二次函数解析式，利用配方法求出顶点坐标以及图象与y轴交点即可。

（3）根据两点之间线段最短的性质，当P、C、D共线时PC+PD最短，利用相似三角形的判定和性质得出PO的长即可得出答案。