Question

已知抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，8），且抛物线的对称轴是直线x=﹣2．

（1）求此抛物线的表达式；

（2）连接AC，BC，若点E是线段AB上的一个动点（与点A，B不重合），过点E作EF∥AC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式；

（3）在（2）的基础上试说明S是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，并判断S取得最大值时△BCE的形状；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）y=﹣x2﹣x+8；（2）﹣m2+4m，（3）△BCE为等腰三角形．理由见解析.

【解析】

(1) 先解一元二次方程, 得到线段0B、 OC的长, 也就得到了点B、 C两点坐标, 根据抛物线的对称性可得点A坐标，把A、 B、 C三点代入二次函数解析式就能求得二次函数解析式;

(2)易得=-,只需利用平行得到三角形相似, 求得EF长, 进而利用相等角的正弦值求得ΔBEF中BE边上的高;

(3) 利用二次函数求出最值, 进而求得点E坐标. OC垂直平分BE, 那么EC=BC, 所求的三角形是等腰三角形.

（1）∵点B的坐标为（2，0），抛物线的对称轴是直线x=﹣2，

∴由抛物线的对称性可得点A的坐标为（﹣6，0），

∵点C（0，8）在抛物线y=ax2+bx+c的图象上，

∴c=8，将A（﹣6，0）、B（2，0）代入表达式，得，

解得，

∴所求抛物线的表达式为y=﹣x2﹣x+8；

（2）依题意，AE=m，则BE=8﹣m，

∵OA=6，OC=8，

∴AC=10，

∵EF∥AC，

∴△BEF∽△BAC，

∴= 即=，

∴EF=，

过点F作FG⊥AB，垂足为G，

则sin∠FEG=sin∠CAB=

∴=

∴FG=•=8﹣m，

∴S=S△BCE﹣S△BFE=（8﹣m）×8﹣（8﹣m）（8﹣m）=（8﹣m）（8﹣8+m）=（8﹣m）m=﹣m2+4m，

（3）由S=﹣m2+4m=﹣（m﹣4）2+8可知，S存在最大值，

当m=4时，S最大值=8，

∵m=4，

∴AE=4，

∵OA=6，

∴OE=2，

∴点E的坐标为（﹣2，0），

∵B（2，0），C（0，8），

∴△BCE为等腰三角形．