Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c（a＜0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A，顶点D的坐标分别为A（﹣1，0），D（1，m）．

（1）当OB=OC时，直接写出抛物线的解析式；

（2）直线CD必经过某一定点，请你分析理由并求出该定点坐标；

（3）点P为直线CD上一点，当以点P，A，B为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求m的值．

Answer

（1）y=﹣x2+2x+3；（2）直线CD必经过定点（﹣3，0）；（3）以点P，A，B为顶点的三角形是等腰直角三角形时，m的值为2或或8．

【解析】

（1）由点A，顶点D的坐标分别为A（﹣1，0），D（1，m），可得B点坐标，又OB=OC，可得抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；

（2）由抛物线顶点D的坐标分别为（1，m），可得b=﹣2a，由A（﹣1，0）在抛物线上，可得c=﹣3a，可得直线CD的解析式为y=﹣ax﹣3a=﹣a（x+3），可得答案；

(3)分 ∠PAB=90°、∠PBA=90°、∠APB=90°三种情况讨论可得m的值.

（1）点A，顶点D的坐标分别为A（﹣1，0），D（1，m），

∴B（3，0），

∴OB=3，

∵OB=OC，

∴C（0，3），

设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），∴a×1×（﹣3）=3，

∴a=﹣1，

∴抛物线解析式为y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3；

（2）∵抛物线顶点D的坐标分别为（1，m），

∴﹣=1，

∴b=﹣2a，

∴抛物线的解析式为y=ax2﹣2ax+c，

∵A（﹣1，0）在抛物线上，

∴a+2a+c=0，

∴c=﹣3a，

∴抛物线的解析式为y=ax2﹣2ax﹣3a=a（x﹣1）2﹣4a，

∴m=﹣4a，

∴D（1，﹣4a），C（0，﹣3a），

∴直线CD的解析式为y=﹣ax﹣3a=﹣a（x+3），

令x+3=0，

即：x=﹣3时，y=0，

∴直线CD必经过定点（﹣3，0）；

（3）A（﹣1，0），B（3，0），

∴AB=4，

当∠PAB=90°时，PA=AB，

∵P（﹣1，﹣2a），

∴PA=﹣2a，

∴﹣2a=4，

∴a=﹣2，

∴m=﹣4a=8

当∠PBA=90°时，PB=AB，

∵P（3，﹣6a），∴PB=﹣6a，

∴﹣6a=4，

∴a=﹣，

∴m=﹣4a=，

当∠APB=90°时，PA=PB，

∵P（1，﹣4a），

∴m=﹣4a=AB=2，

即：以点P，A，B为顶点的三角形是等腰直角三角形时，m的值为2或或8．