Question

抛物线过点和，点P为x轴正半轴上的一个动点，连接AP，在AP右侧作，且，点B经过矩形AOED的边DE所在的直线，设点P横坐标为t．

求抛物线解析式；

当点D落在抛物线上时，求点P的坐标；

若以A、B、D为顶点的三角形与相似，请直接写出此时t的值．

Answer

（1）抛物线的解析式为：；（2）；（3）当、时，以A、B、D为顶点的三角形与相似．

【解析】

将、两点坐标代入抛物线，运用待定系数法即可求得解析式，然后根据对称轴公式求得即可；

先求得的坐标，进而求出点的坐标，然后将代入中求出的抛物线的解析式，即可求出的值；

由于时，点与点重合，不存在，所以分和两种情况进行讨论，在每一种情况下，当以A、B、D为顶点的三角形与相似时，即：以A、B、D为顶点的三角形与相似，进而又分两种情况：∽与∽，根据相似三角形对应边的比相等列出比例式，求解即可．

【解析】
由题意得，

解得．

故抛物线的解析式为：；

，

，

易证，∽，

，

，

，，

，

，，

．

假设在抛物线上，有，

解得 或，

，

，

即当时，点D落在抛物线上．

当时，如图1，

，，，，

若∽，

∽

∽，

，即，

化简得，此时t无解．

若∽，

∽，

∽，

，即，化简得：，

解得：．

，

．

当时，如图2，

若∽，

，，，，

∽，

∽，

，即，

化简得，，

解得负根舍去．

∽，

∽，同理，此时t无解．

综合上述：当、时，以A、B、D为顶点的三角形与相似．