Question

已知⊙O 的直径为 4，AB 是⊙O 的弦，∠AOB=120°，点 P 在⊙O 上，若点 P到直线 AB 的距离为 1，则∠PAB 的度数为_____．

Answer

15°或 30°或 105°

【解析】

作 OP1⊥AB 交⊙O 于 P1 交 AB 于 H，过点 O 作直线 P2P3∥AB 交⊙O 于 P2，P3．由垂径定理可得∠AOH=60°，进而可得∠OAH=30°，即可求出OH=1，进而可知P1，P2，P3 是满足条件的点，根据圆周角定理求出∠P1AB、∠P3AB、∠P2AB的度数即可.

如图作 OP1⊥AB 交⊙O 于 P1 交 AB 于 H，过点 O 作直线 P2P3∥AB 交⊙O 于 P2，P3．

∵∠AOB=120°，OA=OB，OH⊥AB，

∴∠AOH=∠AOB=60°，∠AHO=90°，

∴∠OAH=30°，

∵⊙O 的直径为 4，

∴OH=OA= 1，

∴HP1=1，

∴直线 AB 与直线 P2P3 之间的结论距离为 1，

∴P1，P2，P3 是满足条件的点，

∴∠P1AB=∠BOP1=30°，∠P3AB=∠BOP3=15°，

∵P2P3是⊙O的直径，

∴∠P2AP3=90°，

∴∠P2AB=∠P2AP3+∠P3AB=90°+15°=105°，

故答案为：15°或 30°或 105°．