Question

如图 1，已知抛物线 L₁：y=﹣x²+2x+3 与 x 轴交于 A，B 两点（点 A在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C，在 L₁ 上任取一点 P，过点 P 作直线 l⊥x 轴， 垂足为D，将 L₁ 沿直线 l 翻折得到抛物线L₂，交 x 轴于点 M，N（点 M 在点 N 的左侧）．

(1)当 L₁ 与 L₂ 重合时，求点 P 的坐标；

(2)当点 P 与点 B 重合时，求此时 L₂ 的解析式；并直接写出 L₁ 与 L₂ 中，y 均随x 的增大而减小时的 x 的取值范围；

(3)连接 PM，PB，设点 P（m，n），当 n=m 时，求△PMB 的面积．

Answer

(1) P（1，4）;(2) y=﹣x2+10x﹣21；x≥5 ;(3) 或 3.

【解析】

（1）当点 P 为抛物线 L1 的顶点时，抛物线 L1 与 L2 重合，把y=﹣x2+2x+3变形为顶点式即可得P点坐标；（2）令 y=0，可求出P点坐标，可知L1 与 L2的对称轴，进而可得L2的顶点坐标，即可求出L2的解析式；根据图像可得L1 与 L2 中，y 均随x 的增大而减小时的 x 的取值范围；（3）把P（m，）代入L1解析式可求出m的值

，根据三角形面积公式求出S△PNB的值即可.

（1）由抛物线对称性，当点 P 为抛物线 L1 的顶点时，抛物线 L1 与 L2 重合

∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4

∴点 P（1，4）；

（2）在抛物线 L1 中，令 y=0，即﹣x2+2x+3=0

解得 x1=﹣1，x2=3

当点 P 与点 B 重合时，此时 P（3，0）

∴抛物线 L2 与抛物线 L1 关于直线 x=3 对称

∴抛物线 L2 的顶点为（5，4）

∵由抛物线对称性可知，抛物线 L1 和 L2 开口方向和大小相同．

∴抛物线 L2 和的解析式为 y=﹣（x﹣5）2+4=﹣x2+10x﹣21

∴结合图象可知，当 x≥5 时，抛物线 L1 与抛物线L2 中，y 均随 x 的增大而减小

（3）当 n=时，﹣m2+2m+3=，

解得 m1=﹣，m2=2，

∴点 P 坐标为（﹣，﹣）或（2，3）

①如图1，

当点 P 坐标为（﹣，﹣）时，点 D 的坐标为坐标为（﹣，0）

∴DB=3﹣（﹣）=

∴MB=2BD=2×=9

∴S△PMB==

②如图 2，

当点 P 坐标为（2，3）时，点 D 的坐标为坐标为（2，0）

∴DB=3﹣2=1

∴MB=2BD=2

∴S△PMB==3

综上所述：当点P（m，n），n=时，△PMB 的面积为或 3.