如图 1，在 Rt△ABC 中，∠A=90°，AB=AC，点 D、E 分别在边 ...

如图 1，在 Rt△ABC 中，∠A=90°，AB=AC，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，AD=AE，连接DC，点 M、P、N 分别为 DE、DC、BC 的中点,

(1)观察猜想：如图 1 中，△PMN 是三角形；

(2)探究证明：把△ADE 绕点 A 逆时针方向旋转到图 2 的位置，连接 MN，BD， CE．判断△PMN 的形状，并说明理由；

(3)拓展延伸：将△ADE 绕点 A 在平面内自由旋转，若 AD=4，AB=10，请求△PMN 面积的取值范围．

(1)等腰直角三角形；(2)见解析；(3)≤S△PMN≤. 【解析】（1）由AB=AC，AD=AE可得BD=CE，由点 M、P、N 分别为 DE、DC、BC的中点可得MP=PN，由MP∥AC，NP∥AB可知∠MPD=∠ACD，∠PNC=∠ABC=45°，进而可求出∠MPN=90°，即可证明△PMN是等腰直角三角形；（2）根据SAS可证明△ABD≌△ACE即可证明BD=CE，∠ABD=∠ACE，由点 M、P、N 分别为 DE、DC、BC的中点可得MP=PN，由MP∥AC，NP∥AB可知∠MPD=∠ECD，∠PNC=∠DBC，进而可证明∠PMN=90°，即可证明△PMN是等腰直角三角形；（3）由△PMN是等腰直角三角形可得S△PMN=BD2，根据三角形的三边关系即可得出△PMN 面积的取值范围．（1）∵AB=AC，AD=AE ∴BD=CE ∵点 M、P、N 分别为 DE、DC、BC 的中点 ∴MP=EC，NP=BD，MP∥AC，NP∥AB ∴MP=NP ∴△PMN 是等腰三角形 ∵∠A=90°，AB=AC ∴∠ABC=∠ACB=45° ∵MP∥AC，NP∥AB ∴∠MPD=∠ACD，∠PNC=∠ABC=45° ∵∠DPN=∠PNC+∠DCB=45°+∠ACB﹣∠ACB=90°﹣∠ACD ∴∠MPN=∠MPD+∠DPN=∠ACD+90°﹣∠ACD=90° ∴△PMN 是等腰直角三角形（2）∵∠BAC=∠DAE=90° ∴∠BAD=∠CAE ∵AB=AC，AD=AE ∴△ABD≌△ACE（SAS） ∴BD=CE，∠ABD=∠ACE ∵点 M、P、N 分别为 DE、DC、BC 的中点 ∴MP=EC，NP=BD，MP∥EC，NP∥DB ∴MP=NP ∴△PMN 是等腰三角形 ∵∠A=90°，AB=AC ∴∠ABC=∠ACB=45° ∵MP∥AC，NP∥AB ∴∠MPD=∠ECD，∠PNC=∠DBC ∵∠DPN=∠PNC+∠DCB=∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACB﹣∠ACD=∠DBC+45°﹣∠ACD ∴∠MPN=∠MPD+∠DPN=∠DBC+45°﹣∠ACD+∠ACD+∠AC E=∠DBC+45°+∠ABD=∠ABC+45°=90° ∴△PMN 是等腰直角三角形（3）∵△PMN 是等腰直角三角形 ∴S△PMN=PN2=×（BD）2=BD2． ∵将△ADE 绕点 A 在平面内自由旋转， ∴当点 D 在 AB 上时，BD 最短，此时 BD=AB﹣AD=6 当点 D 在 BA 的延长线上时，BD 最长，此时 BD=AB+AD=14 ∴≤S△PMN≤.

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考点分析：

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