Question

如图，在 Rt△OAB 中，∠A=90°，∠ABO=30°，OB=，边 AB的垂直平分线 CD 分别与 AB、x 轴、y 轴交于点 C、E、D．

（1）求点 E的坐标；

（2）求直线 CD的解析式；

（3）在直线 CD上找一点Q使得三角形O，D，Q为等腰三角形，并求出所有的Q点；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）E（，0）；（2）y=﹣ x+2；（3）使得三角形 O，D，Q 为等腰三角形的Q 点 Z 坐标为 Q1（1，﹣+2），Q2（﹣1，+2），Q3（，1），Q4（，﹣1）．

【解析】

根据 DC 是 AB 垂直平分线，得出 C 点为 OB 的中点，再根据 OB 的值，即可求出点 E 的坐标；

先过点C作 CH⊥x轴，在 Rt△ABO中，根据∠ABO 的度数和 OB 的值求出AB的长，再在 Rt△CBH 中，求出 OH 的值，得出点 D 的坐标，再设直线CD的解析式，得出 k，b的值，即可求出直线CD的解析式；

分三种情况讨论，分别根据Q点的不同位置求出Q的坐标即可．

（1）∵DC 是 AB 垂直平分线，OA 垂直 AB，

∴C 点为 OB 的中点，

∵∠A=90°，∠DCB=90°，

∴OA∥CD，

∴E 为 OB 的中点，

∵

∴

∴

（2）过点 C 作 CH⊥x 轴于点 H，

在 Rt△ABO 中，∠ABO=30°，

又∵CD 垂直平分 AB，

∴BC=1，在 Rt△CBH 中，

∴

∴

∵∠DGO=60°，

∴

∴

∴

设直线 CD 的解析式为：y=kx+b，则，

解得： ．

∴

存在；

设有三种情况；

当 OD=QD 时，

∵D（0，2），

即 4m2=22，解得；m=1 或 m=﹣1，

∴

当 OQ=DQ 时，则

解得：

当 OD=OQ 时，则 解得：m=0，或

∴

∴使得三角形 O，D，Q 为等腰三角形的Q 点 Z 坐标为