Question

如图，点 E 是边长为 1 的正方形 ABCD 的对角线 BD 上的一个动点（不与 B、D 两点重合），过点 E 作直线 MN∥DC，交 AD 于 M，交 BC 于 N，连接 AE，作 EF⊥AE 于 E，交直线 CB 于 F．

（1）如图 1，当点 F 在线段 CB 上时，通过观察或测量，猜想△AEF 的形状，并证明你的猜想；

（2）如图 2，当点 F 在线段 CB 的延长线上时，其它条件不变，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；

（3）在点 E 从点D 向点B 的运动过程中，四边形 AFNM 的面积是否会发生变化？若发生了变化，请说明理由；若没有发生变化，请求出其面积的值．

Answer

（1）△AEF是等腰直角三角形，证明见解析；（2）△AEF是等腰直角三角形，证明见解析；（3）四边形 AFNM 的面积没有发生改变，都是．

【解析】

根据四边形 ABCD 是正方形，BD 是对角线，且 MN∥BA，求证△

DEM 和△BNE 都是等腰直角三角形．又利用 EF⊥AE，可得∠EFN=∠AEM，然后即可求证，△AME≌△ENF；

利用（1）中证法求出 BN=EN=AM，∠AEM=∠EFN，即可得出答案；

分两种情况进行讨论：（i）当点 E 运动到 BD 的中点时，利用四边形 AFNM

是矩形，可得 S四边形AFNM=

（ii）当点 E 不在 BD 的中点时，点 E 在运动（与点 B、D 不重合）的过程中，四边形 AFNM 是直角梯形．由（1）知，△AME≌△ENF，同理，图（2）△AME≌△ENF，然后即可得出结论．

（1）∵四边形 ABCD 是正方形，BD 是对角线，且 MN∥AB，

∴四边形 ABNM 和四边形 MNCD 都是矩形，

△NEB 和△MDE 都是等腰直角三角形．

∴∠AEF=∠ENF=90°，MN=BC=AB，EN=BN

即 EN=AM，

又∵∠AEM+∠FEN=90°，∠AEM+∠EAM=90°

∴∠EAM=∠FEN，

∵∠AME=∠ENF=90°，

∴△AME≌△ENF（ASA）；

∴AE=BE，

∵AE⊥EF，

∴△AEF 是等腰直角三角形；

（2）由（1）同理可得：

∴BN=EN=AM，

∠AEM=∠EFN，

∵∠AME=∠ENF=90°

∴△AME≌△ENF（ASA）；

∴AE=EF，

∵AE⊥EF，

∴△AEF 是等腰直角三角形；

四边形 AFNM 的面积没有发生变化

（i）当点 E 运动到 BD 的中点时，

四边形 AFNM 是矩形，S 四边形AFNM=

（ii）当点 E 不在 BD 的中点时，点 E 在运动（与点 B、D 不重合）的过程中，四边形 AFNM 是直角梯形．

由（1）知，△AME≌△ENF，

同理，图（2），△AME≌△ENF，

∴FN=EM=DM．

∴FN+AM=DM+AM=AD=1

这时，S 四边形AFNM

综合（i）、（ii）可知四边形 AFNM 的面积没有发生改变，都是．