Question

四边形 OABC 在图 1 中的直角坐标系中，且OC在 y 轴上，OA∥BC，A、B两点的坐标分别为 A（18，0），B（12，8），动点 P、Q分别从 O、B两点出发，点 P以每秒2个单位的速度沿 OA 向终点 A 运动，点 Q 以每秒1个单位的速度沿BC向 C运动，当点 P停止运动时，点 Q 同时停止运动．动点 P、Q 运动时间为 t（单位：秒）．

（1）当 t 为何值时，四边形 PABQ 是平行四边形，请写出推理过程；

（2）如图 2，线段 OB、PQ 相交于点 D，过点 D 作 DE∥OA，交 AB 于点 E，射线 QE 交 x 轴于点 F，PF=AO．当 t 为何值时，△PQF 是等腰三角形？请写出推理过程；

（3）如图 3，过 B 作 BG⊥OA 于点 G，过点 A 作 AT⊥x 轴于点 A，延长 CB 交 AT于点 T．将点 G 折叠，折痕交边 AG、BG 于点 M、N，使得点 G 折叠后落在AT 边上的点为 G′，求 AG′的最大值和最小值．

Answer

（1）当 t 为 6 时，四边形 PABQ 是平行四边形；（2）当 t=1 或 t=时，△PQF 是等腰三角形；（3）AG′的最大值与最小值分别是 6，8﹣2．

【解析】

（1）由梯形的性质得出当 PA=BQ 时，四边形 PABQ 是平行四边形，BQ=t，

OP=2t，得出方程，解方程即可；

过 Q作 QH⊥OF 于 H，①当 FP=FQ 时，求出 CQ=OH=12﹣t，PH=12﹣3t， 得出 FH=3t+6，由勾股定理得出方程，解方程即可；

②当 PF=PQ 时，PQ=P F=18，在 Rt△PQH 中，由勾股定理得出方程，解方程即可；

③当 PQ=FQ 时，PH=FH，得出方程 12﹣3t=6+3t，解方程即可；

当折痕经过点 A 时，AG=AG′=6，此时 AG′为最大值；当折痕经过点 B，另一点在 AG 上时 AG′最小，此时，BG=BG′=8，在 Rt△BG′T 中，由勾股定理求出TG′，得出 即可．

（1）∵OA∥BC，

∴PA∥BQ，

当 PA=BQ 时，四边形 PABQ 是平行四边形，BQ=t，OP=2t，

∵A（18，0），

∴PA=18﹣2t，

∴t=18﹣2t， 解得：t=6，

∴当 t 为 6 时，四边形 PABQ 是平行四边形；

（2）过 Q 作 QH⊥OF 于 H，如图 1 所示：

分三种情况：

①当 FP=FQ 时，

∵PF=AO=18，

∴FQ=18，BQ=t，

∴CQ=OH=12﹣t，

∴PH=12﹣3t，

∴FH=3t+6，

在 Rt△QHF 中，由勾股定理得：QH2+FH2=FQ2，

∴82+（3t+6）2=182，

解得：t1=，t2=（不合题意舍去）；

②当 PF=PQ 时，PQ=PF=18，

在 Rt△PQH 中，由勾股定理得：PQ2=PH2+QH2，

∴（12﹣3t）2+82=182，

解得：t1=（不合题意舍去），t2=（不合题意舍去）；

③当 PQ=FQ 时，PH=FH，

∴12﹣3t=6+3t， 解得：t=1；

综上所述，当 t=1 或 t=时，△PQF 是等腰三角形；

（3）当折痕经过点 A 时，如图 2 所示：

AG=AG′=6，此时 AG′为最大值；

当折痕经过点 B，另一点在 AG 上时 AG′最小，如图 3 所示：

此时，BG=BG′=8，

∵BT=6，

∴在 Rt△BG′T 中，

∴

综上所述：AG′的最大值与最小值分别是