Question

如图，在四边形ABCD中，AC、BD是对角线，AC=AD，BC＞AB，AB∥CD，AB=4，BD=2，tan∠BAC=3，则线段BC的长是_____．

Answer

6

【解析】

作DE⊥AB，交BA的延长线于E，作CF⊥AB，可得DE=CF，且AC=AD，可证Rt△ADE≌Rt△AFC，可得AE=AF，∠DAE=∠BAC，根据tan∠BAC=∠DAE=，可设DE=3a，AE=a，根据勾股定理可求a的值，由此可得BF，CF的值．再根据勾股定理求BC的长．

如图：

作DE⊥AB，交BA的延长线于E，作CF⊥AB，

∵AB∥CD，DE⊥AB⊥，CF⊥AB

∴CF=DE，且AC=AD

∴Rt△ADE≌Rt△AFC

∴AE=AF，∠DAE=∠BAC

∵tan∠BAC=3

∴tan∠DAE=3

∴设AE=a，DE=3a

在Rt△BDE中，BD2=DE2+BE2

∴52=（4+a）2+27a2

解得a1=1，a2=-（不合题意舍去）

∴AE=1=AF，DE=3=CF

∴BF=AB-AF=3

在Rt△BFC中，BC=＝6