Question

如图，AB是⊙O的直径，弧CD⊥AB，垂足为H，P为弧AD上一点，连接PA、PB，PB交CD于E．

（1）如图（1）连接PC、CB，求证：∠BCP=∠PED；

（2）如图（2）过点P作⊙O的切线交CD的延长线于点E，过点A向PF引垂线，垂足为G，求证：∠APG=∠F；

（3）如图（3）在图（2）的条件下，连接PH，若PH=PF，3PF=5PG，BE=2，求⊙O的直径AB．

Answer

（1）见解析；（2）见解析；（3）AB=15

【解析】

（1）由垂径定理得出∠CPB=∠BCD，根据∠BCP=∠BCD+∠PCD=∠CPB+∠PCD=∠PED即可得证；

（2）连接OP，知OP=OB，先证∠FPE=∠FEP得∠F+2∠FPE=180°，再由∠APG+∠FPE=90得2∠APG+2∠FPE=180°，据此可得2∠APG=∠F，据此即可得证；

（3）连接AE，取AE中点N，连接HN、PN，过点E作EM⊥PF，先证∠PAE=∠F，由tan∠PAE=tan∠F得，再证∠GAP=∠MPE，由sin∠GAP=sin∠MPE得，从而得出，即MF=GP，由3PF=5PG即，可设PG=3k，得PF=5k、MF=PG=3k、PM=2k，由∠FPE=∠PEF知PF=EF=5k、EM=4k及PE=2k、AP=k，证∠PEM=∠ABP得BP=3k，继而可得BE=k=2，据此求得k=2，从而得出AP、BP的长，利用勾股定理可得答案．

证明：（1）∵AB是⊙O的直径且AB⊥CD，

∴∠CPB=∠BCD，

∴∠BCP=∠BCD+∠PCD=∠CPB+∠PCD=∠PED，

∴∠BCP=∠PED；

（2）连接OP，则OP=OB，

∴∠OPB=∠OBP，

∵PF是⊙O的切线，

∴OP⊥PF，则∠OPF=90°，

∠FPE=90°﹣∠OPE，

∵∠PEF=∠HEB=90°﹣∠OBP，

∴∠FPE=∠FEP，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠APB=90°，

∴∠APG+∠FPE=90°，

∴2∠APG+2∠FPE=180°，

∵∠F+∠FPE+∠PEF=180°，

∵∠F+2∠FPE=180°

∴2∠APG=∠F，

∴∠APG= ∠F；

（3）连接AE，取AE中点N，连接HN、PN，过点E作EM⊥PF于M，

由（2）知∠APB=∠AHE=90°，

∵AN=EN，

∴A、H、E、P四点共圆，

∴∠PAE=∠PHF，

∵PH=PF，

∴∠PHF=∠F，

∴∠PAE=∠F，

tan∠PAE=tan∠F，

∴，

由（2）知∠APB=∠G=∠PME=90°，

∴∠GAP=∠MPE，

∴sin∠GAP=sin∠MPE，

则，

∴，

∴MF=GP，

∵3PF=5PG，

∴，

设PG=3k，则PF=5k，MF=PG=3k，PM=2k

由（2）知∠FPE=∠PEF，

∴PF=EF=5k，

则EM=4k，

∴tan∠PEM=，tan∠F=，

∴tan∠PAE=，

∵PE=，

∴AP=k，

∵∠APG+∠EPM=∠EPM+∠PEM=90°，

∴∠APG=∠PEM，

∵∠APG+∠OPA=∠ABP+∠BAP=90°，且∠OAP=∠OPA，

∴∠APG=∠ABP，

∴∠PEM=∠ABP，

则tan∠ABP=tan∠PEM，即，

∴，

则BP=3k，

∴BE=k=2，

则k=2，

∴AP=3、BP=6，

根据勾股定理得，AB=15．