Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x²﹣2ax与x轴相交于O、A两点，OA=4，点D为抛物线的顶点，并且直线y=kx+b与该抛物线相交于A、B两点，与y轴相交于点C，B点的横坐标是﹣1．

（1）求k，a，b的值；

（2）若P是直线AB上方抛物线上的一点，设P点的横坐标是t，△PAB的面积是S，求S关于t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；

（3）在（2）的条件下，当PB∥CD时，点Q是直线AB上一点，若∠BPQ+∠CBO=180°，求Q点坐标．

Answer

（1）k=1、a=2、b=4；（2）s=﹣t2﹣ t﹣6，自变量t的取值范围是﹣4＜t＜﹣1；（3）Q（﹣，）

【解析】

（1）根据题意可得A（-4，0）代入抛物线解析式可得a，求出抛物线解析式，根据B的横坐标可求B点坐标，把A，B坐标代入直线解析式，可求k，b

（2）过P点作PN⊥OA于N，交AB于M，过B点作BH⊥PN，设出P点坐标，可求出N点坐标，即可以用t表示S．

（3）由PB∥CD，可求P点坐标，连接OP，交AC于点R，过P点作PN⊥OA于M，交AB于N，过D点作DT⊥OA于T，根据P的坐标，可得∠POA=45°，由OA=OC可得∠CAO=45°则PO⊥AB，根据抛物线的对称性可知R在对称轴上．设Q点坐标，根据△BOR∽△PQS，可求Q点坐标．

（1）∵OA=4

∴A（﹣4，0）

∴﹣16+8a=0

∴a=2，

∴y=﹣x2﹣4x，当x=﹣1时，y=﹣1+4=3，

∴B（﹣1，3），

将A（﹣4，0）B（﹣1，3）代入函数解析式，得，

解得，

直线AB的解析式为y=x+4，

∴k=1、a=2、b=4；

（2）过P点作PN⊥OA于N，交AB于M，过B点作BH⊥PN，如图1，

由（1）知直线AB是y=x+4，抛物线是y=﹣x2﹣4x，

∴当x=t时，yP=﹣t2﹣4t，yN=t+4

PN=﹣t2﹣4t﹣（t+4）=﹣t2﹣5t﹣4，

BH=﹣1﹣t，AM=t﹣（﹣4）=t+4，

S△PAB=PN（AM+BH）=（﹣t2﹣5t﹣4）（﹣1﹣t+t+4）=（﹣t2﹣5t﹣4）×3，

化简，得s=﹣t2﹣ t﹣6，自变量t的取值范围是﹣4＜t＜﹣1；

∴﹣4＜t＜﹣1

（3）y=﹣x2﹣4x，当x=﹣2时，y=4即D（﹣2，4），当x=0时，y=x+4=4，即C（0，4），

∴CD∥OA

∵B（﹣1，3）．

当y=3时，x=﹣3，

∴P（﹣3，3），

连接OP，交AC于点R，过P点作PN⊥OA于M，交AB于N，过D点作DT⊥OA于T，如图2，

可证R在DT上

∴PN=ON=3

∴∠PON=∠OPN=45°

∴∠BPR=∠PON=45°，

∵OA=OC，∠AOC=90°

∴∠PBR=∠BAO=45°，

∴PO⊥AC

∵∠BPQ+∠CBO=180，

∴∠BPQ=∠BCO+∠BOC

过点Q作QS⊥PN，垂足是S，

∴∠SPQ=∠BOR∴tan∠SPQ=tan∠BOR，

可求BR=，OR=2，

设Q点的横坐标是m，

当x=m时y=m+4，

∴SQ=m+3，PS=﹣m﹣1

∴，解得m=﹣．

当x=﹣时，y=，

Q（﹣，）．