Question

如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰和等腰，其中，CD与BE、AE分别交于点P、对于下列结论：

∽；；；．

其中正确的是　　

A.     B.     C.     D.

Answer

D

【解析】

①根据两个三角形的两角相等证明相似三角形；

②根据两个三角形的两边比值相等证明△BAE∽△CAD即可的CD与BE的比值；

③根据△BAE∽△CAD，得∠BEA=∠CDA，再根据△PME∽△AMD，得MPMD=MAME；

④根据△PME∽△AMD ，得∠MPE=∠MAD=45°，再根据MPMD=MAME得△PMA∽△EMD，又因为∠APC=∠MAC=90°，∠ACP=∠MCA，所以△APC∽△MAC，则AC2=MCPC，再根据AC=BC，得2CB2=CPCM.

【解析】
①在等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE中，∠CAB=∠EAD=45°，

所以∠CAM=90°，

又因为∠CMA=∠DME（对顶角），∠AED=∠CAM=90°，

所以△CAM∽△DEM，故①正确.

②在等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE中，∠CAB=∠EAD=45°，AC=AB，AD=AE，

所以∠CAB+∠CAE=∠EAD+∠CAE，即∠BAE=∠CAD，

又因为=，所以△BAE∽△CAD.

则CD=BE，故②正确.

③由②中△BAE∽△CAD，得∠BEA=∠CDA，

又因为∠BEA=∠AMD，所以△PME∽△AMD，

所以=，即MPMD=MAME，故③正确.

④，由③中△PME∽△AMD ，得∠MPE=∠MAD=45°，

因为MPMD=MAME，所以=，所以△PMA∽△EMD，

所以∠APM=∠DEM=90°，

因为∠APC=∠MAC=90°，∠ACP=∠MCA，

所以△APC∽△MAC，

所以=，即AC2=MCPC，

又因为AC=BC，

所以2CB2=CPCM，故④正确.

故选：D.