Question

如图，O为正方形ABCD的对角线AC上一点，以O为圆心，OC的长为半径的与AB相切于点M．

求证：AD与相切；

若，求图中阴影部分面积．

Answer

(1)见解析;（2）2π-4.

【解析】

（1）过O作ON⊥AD于N，由垂直的定义得到∠ONA=90°，根据正方形的性质得到∠OAN=∠OAM=45°，根据切线的性质得到∠OMA=90°，根据全等三角形的性质得到ON=OM，于是得到结论；

（2）首先求出AE=AF，进而求出△CEF的面积，进而得出阴影部分的面积.

解: （1）证明：连接OM,过O作ON⊥AD于N，

∴∠ONA=90°，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠OAN=∠OAM =45°，

∵AB与⊙O相切于M，

∴∠OMA=90°，

在△ONA与△OMA中，

，

∴△ONA≌△OMA，

∴ON=OM，

∴BC与⊙O相切；

（2）设⊙O的半径为r．

显然OM∥CB，

∴△AOM∽△ACB，

∴ ，即,

解得r=2

故⊙O的半径为2;

连接EF，

则EF是⊙O的直径，

∵AC是正方形ABCD的对角线，

∴∠DAC=45°，

∵CO=FO，

∴∠CFO=45°，

∴∠COF=90°，

则AE=AF，

∵EF=4，

∴CE=CF=2，

∴S△CEF=×2×2=4，==,

故阴影部分面积: -4.