Question

如图，△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AB=10．点Q与点B在AC的同侧，且AQ⊥AC．

（1）如图1，点Q不与点A重合，连结CQ交AB于点P．设AQ=x，AP=y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；

（2）是否存在点Q，使△PAQ与△ABC相似，若存在，求AQ的长；若不存在，请说明理由；

（3）如图2，过点B作BD⊥AQ，垂足为D．将以点Q为圆心，QD为半径的圆记为⊙Q．若点C到⊙Q上点的距离的最小值为8，求⊙Q的半径．

Answer

(1) ；(2) 存在点Q，使△ABC∽△QAP，此时AQ=；(3)⊙Q的半径为9或．

【解析】试题（1）先由平行线分线段成比例得出， 代值即可得出结论；

（2）先判断出要使△PAQ与△ABC相似，只有∠QPA=90°，进而由相似得出比例式即可得出结论；

（3）分点C在⊙O内部和外部两种情况，用勾股定理建立方程求解即可．

试题解析：（1）∵AQ⊥AC，∠ACB=90°，∴AQ∥BC，∴，∵BC=6，AC=8，∴AB=10，

∵AQ=x，AP=y，∴，∴；

（2）∵∠ACB=90°，而∠PAQ与∠PQA都是锐角，∴要使△PAQ与△ABC相似，只有∠QPA=90°，

即CQ⊥AB，此时△ABC∽△QAC，则，∴AQ=．故存在点Q，使△ABC∽△QAP，此时AQ=；

（3）∵点C必在⊙Q外部，∴此时点C到⊙Q上点的距离的最小值为CQ﹣DQ．

设AQ=x．①当点Q在线段AD上时，QD=6﹣x，QC=6﹣x+8=14﹣x，

∴x2+82=（14﹣x）2，解得：x=，即⊙Q的半径为．

②当点Q在线段AD延长线上时，QD=x﹣6，QC=x﹣6+8=x+2，

∴x2+82=（x+2）2，解得：x=15，即⊙Q的半径为9．

∴⊙Q的半径为9或．