Question

如图，在△ABC中，AB =AC=2，∠B = 40°，点D在线段BC上运动（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE = 40°，DE交线段AC于点E．

（1）当∠BDA = 115°时，∠BAD=            °，∠DEC =             °，当点D从点B向点C运动时，∠BDA逐渐变      （填“大”或“小”） ．

（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE？请说明理由．

（3）在点D的运动过程中，是否存在△ADE是等腰三角形？若存在，请直接写出此时∠BDA的度数；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）25，115，小；（2）当DC=2时，△ABD ≌△DCE，理由见解析；（3）存在．∠BDA=110°或80°．

【解析】

试题

（1）根据三角形的内角和计算∠BAD，再由三角形的一个外等于和它不相邻的两个内角的和求∠EDC，从而可得∠DEC，根据三角形的内角和判断∠BDA的大小变化.

（2）在（1）中可得到这两个三角形的三个角都相等，只要有一条边对应相等即可，而已知AB=2，所以CD=2.

（3）假设等腰△ADE存在，因为底边不确定，所以需要分三种情况讨论，求出∠BDA的度数后要检验.

试题解析：

（1）∠BAD=180°-∠B-∠BDA=180°-40°-115°=25°.

∵∠ADC=∠B+∠BAD，∴40°+∠EDC=40°+∠BAD，∴∠EDC=∠BAD.

∴∠DEC=180°-∠C-∠EDC=180°-40°-25°=115°.

∵在点D从点B向点C运动的过程中，对于△ABD，∠B=40°不变，∠BAD逐渐变大，

∴∠ADB逐渐变小.

（2）当DC=2时，△ABD≌△DCE，理由如下：

在△ABD和△DCE中，

因为∠B=∠C，∠BAD=∠CDE，已经有了两个角分别相等，所以只需要一边对应相等即可.

AB=AC=2，当DC=AB时，则可用ASA证明这两个三角形全等.

（3）在点D的运动过程中，存在△ADE是等腰三角形。理由如下：

①当DA=DE时，∠DAE=（180°-∠ADE）÷2=（180°-40°）÷2=70°.

所以∠BDA=∠C+∠DAE=40°+70°=110°.

②当AD=AE时，∠DAE=180°-2×40°=100°，

所以∠BDA=∠C+∠DAE=40°+100°=140°，

但∠BDA=180°-∠B-∠BAD=180°-40°-∠BAD，所以∠BDA＜140°，

所以AD=AE不存在.

③当EA=ED时，∠DAE=∠EDA=40°，

所以∠BDA=∠DAE+∠C=40°+40°=80°.

综上所述，∠BDA=110°或80°.