Question

如图，⊙C经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A与点B，点A的坐标为（0，4），M是圆上一点，∠BMO=120°．

（1）求证：AB为⊙C直径．

（2）求⊙C的半径及圆心C的坐标．

Answer

（1）证明见解析（2）4，（-2，2）

【解析】试题（1）由于∠AOB=90°，那么应连接AB，得到AB是直径．由∠BMO=120°可得到∠BAO=60°，易得OA=4，利用60°的三角函数，即可求得AB，进而求得半径．

（2）利用勾股定理可得OB长，作出OB的弦心距，利用勾股定理可得到C的横坐标的绝对值，同法可得到点C的横坐标．

（1）连接AB，AM，则由∠AOB=90°，故AB是直径，

（2）由∠BAM+∠OAM=∠BOM+∠OBM=180°-120°=60°，

得∠BAO=60°，

又AO=4，故cos∠BAO= ，

AB=，

从而⊙C的半径为4．

.

过C作CE⊥OA于E，CF⊥OB于F，

则EC=OF= ,，CF=OE= ．

故C点坐标为（-2，2）.