Question

在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是ycm²，设金色纸边的宽为xcm，要求纸边的宽度不得少于1cm，同时不得超过2cm．

（1）求出y关于x的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围；

（2）此时金色纸边的宽应为多少cm时，这幅挂图的面积最大？求出最大面积的值．

Answer

（1）y=4x2+260x+4000（1≤x≤2）；（2）金色纸边的宽为2cm时，这幅挂图的面积最大，最大面积的值为4536cm2．

【解析】

（1）用含x的代数式表示出镶纸边后矩形的长和宽，根据矩形的面积公式即可得出y关于x的函数解析式，结合题意标明x的取值范围即可；

（2）根据二次函数的性质确定在自变量的取值范围内函数的单调性，由此即可解决最值问题．

（1）镶金色纸边后风景画的长为（80+2x）cm，宽为（50+2x）cm，

∴y=（80+2x）•（50+2x）=4x2+260x+4000（1≤x≤2）．

（2）∵二次函数y=4x2+260x+4000的对称轴为x=﹣，

∴在1≤x≤2上，y随x的增大而增大，

∴当x=2时，y取最大值，最大值为4536．

答：金色纸边的宽为2cm时，这幅挂图的面积最大，最大面积的值为4536cm2．