Question

如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，交OE于点F．

（1）求证：OD=OC；

（2）若∠AOB=60°，求证：OE=4EF．

Answer

（1）详见解析；（2）详见解析.

【解析】

（1）利用角平分线定理得到ED=EC，再由斜边为公共边，利用HL得到直角三角形ODE与直角三角形OCE全等，利用全等三角形的对应边相等即可得证；
（2）由OE为角平分线，且∠AOB=60°，得到∠DOE=∠EDF=30°，在直角三角形ODE中，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半得到OE=2DE，在直角三角形DEF中，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半得到DE=2EF，等量代换即可得证．

证明：（1）∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，

∴ED=EC，

在Rt△ODE和Rt△OCE中，

，

∴Rt△ODE≌Rt△OCE（HL），

∴OD=OC；

（2）∵∠AOB=60°，OE平分∠AOB，

∴∠DOE=∠COE=30°，

∴∠DEO=60°，∠EDF=30°，

∵在Rt△ODE中，∠DOE=30°，

∴OE=2DE，

∵在Rt△DEF中，∠EDF=30°，

∴DE=2EF，

∴OE=4EF．