Question

如图，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC．

（1）求证：AE是∠DAB的平分线；

（2）探究：线段AD、AB、CD之间有何数量关系？请证明你的结论．

Answer

（1）详见解析；（2）详见解析.

【解析】

（1）作EF⊥AD于F，由角平分线的性质就可以得出EF=EC，就可以得出EF=EB，由∠B=90°就可以得出结论；
（2）先由△DEC≌△DEF得出EC=EF，再由△AEB≌△AEF就可以得出AB=AF进而就可以得出AD=AB+CD．

【解析】
（1）作EF⊥AD于F，

∴∠DFE=∠AFE=90°．

∵∠B=∠C=90°，

∴∠B=∠AFE=∠DFE=∠C=90°．

∴CB⊥AB，CB⊥CD．

∵DE平分∠ADC．

∴∠EDC=∠EDF，CE=CF．

∵E是BC的中点，

∴CE=BE，

∴BE=EF．

在Rt△AEB和Rt△AEF中，

∴Rt△AEB≌Rt△AEF（HL），

∴∠EAB=∠EAF，

∴AE是∠DAB的平分线；

（2）在△DEC和△DEF中，

∴△DEC≌△DEF（AAS），

∴CD=FD．EC=EF．

∴在Rt△AEB和Rt△AEF中，，

∴Rt△AEB≌Rt△AEF（HL），

∴AB=AF．

∵AD=AF+DF，

∴AD=AB+CD．