Question

在直角坐标系中， 放置一副三角板 ABO(OAB  90 ，OBA  AOB  45 ，OA  AB) ， BO 边与 x 轴重合，其中一个45角的顶点在原点O ，直角顶点 A 在第一象限内．

（1）将另一个三角板 DEF 如图 1 放置， EDF  90 ，直角顶点 D 置于 AO 边上（不与O 重合），此时， DE 交 y 轴于 M 点， DF 交 x 轴于 N 点，求证：DM  DN ．

（2）如图 2， D 是线段 AB 上一动点，连接OD ，过O 作OE  OD ，取点 E 满足OE  OD ．连接 EB 交OA 于点 P ，探究的值是否为定值，若是定值，求出其值；若不是定值，说明理由．

（3）如图 3，直线a 经过原点且与 y 轴成22.5角，Q 是 x 轴上方直线a 上一动点，连接 AQ 、 BQ ，请比较OB  OA 与QA  QB 的大小关系，并说明理由．

Answer

（1）详见解析.(2) 的值是定值，其值为，理由详见解析；（3）AQ  BQ  OA  OB ，理由详见解析.

【解析】

（1）先判断出∠IDM=∠KDN，得出DI=DK，进而得出△DIM≌△DKN，即可得出结论；
（2）先表示出点A，B坐标，进而得出直线OA，AB的解析式，即可得出ON，DN，BD，再判断出△OME≌△DNO，得出OM=DN=-n+2m，EM=ON=n，进而得出直线BE解析式，即可求出点A坐标，进而得出AP，即可得出结论；
（3）先判断出OQ是AA'的垂直平分线，进而得出A'Q=AQ，最后用三角形的三边关系即可得出结论．

(1)如图1,

过点D作DI⊥y轴于I，DK⊥x轴于K，

∴四边形OIDK是矩形，

∴∠IDK=90，

∵∠EDF=90，

∴∠IDM=∠KDN

∵△AOB是等腰直角三角形，

∴直线OA的解析式为y=x，

∴DI=DK，

在△DIM和△DKN中,

∴△DIM≌△DKN，

∴DM=DN；

(2)的值是定值,其值为：，

理由：如图2,

过点A作AG⊥OB于G，

∵△AOB是等腰直角三角形，

∴OG=BG=AG，

设OG=BG=AG=m，

∴OB=2m，

∴A(m,m),B(2m,0)，

∴直线OA的解析式为y=x①，直线OB的解析式为y=−x+2m，

设D(n,−n+2m)

过点D作DN⊥OB于N，

∴ON=n，DN=−n+2m，

∴

过点E作EM⊥OB于M，

∴∠OME=90=∠DNO，

∴∠OEM+∠EOM=90，

∵OD⊥OE，

∴∠DOE=90，

∴∠EOM+∠DON=90，

∴∠OEM=∠DON，

∵OM=OD，

∴△OME≌△DNO，

∴OM=DN=−n+2m，EM=ON=n，

∴E(n−2m,n)，

∵B(2m,0)，

∴直线BE的解析式为②，

联立①②解得,

∴

∵A(m,m)，

∴

∴

(3)AQ+BQ>OA+OB,理由：如图3,

在x轴的负半轴上取一点A′，使OA′=OA，连接QA′，AA′，

∵直线a经过原点且与y轴成22.5角，

∴∠AOQ=45+22.5=67.5，

∴∠A′OQ′=180−∠AOQ−∠AOB=67.5=∠AOQ，

∴OQ⊥AA′，

∴AQ是AA′的垂直平分线，

∴AQ=A′Q，在△A′BQ中，A′Q+BQ>A′B，

∵A′B=OA′+OB=OA+OB，

∴AQ+BQ>OA+OB.