Question

在中，，，以边的中点为圆心，作半圆与相切，点分别是边和半圆上的动点，连接，则长的最大值与最小值的和是__________．

Answer

9

【解析】

如图，设O与AC相切于点E，连接OE，作OP1⊥BC垂足为P1交O于Q1，此时垂线段OP1最短，P1Q1最小为OP1-OQ1，当Q2在AB边上时，P2与B重合时，P2Q2最大，即可得出答案．

如图所示：

设O与AC相切于点E，连接OE，作OP1⊥BC垂足为P1交 O于Q1，

此时垂线段OP1最短，最小值为OP1-OQ1，

∵，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵AO=BO，

∴，

同理可求OE＝3，

即，

∴PQ最小值P1Q1=O P1-OQ1=1，

如图，当在AB边上时，与B重合时，P2Q2经过圆心，

∵经过圆心的弦最长，

∴PQ最小值P2Q2=O B-OQ2=3+5=8，

∴PQ长的最大值与最小值的和是1+8=9.

故答案为：9.