Question

如图，正方形ABCD的边长为1，点E是BC边上一动点（点E不与点B、C重合），以线段DE为边长，作正方形DEFG，使得点F、G落在直线DE的下方，连接AF、BF．当△ABF为等腰三角形时，BE的长为_____．

Answer

或1-

【解析】

分两种情形: ①如图1中, 当FA=FB时, 由ΔDCE≌ΔEMF, 推出FM=BM, 推出四边形BMNF是正方形即可解决问题.(2)如图2中,当BA=BF时,根据CE=BM=FN即可解决问题.

【解析】

如图1中,当FA=FB时,作FN⊥AB于N,FM⊥CB于M,

四边形ABCD、DEFG是正方形,

∠C=∠DEF=∠M=∠ABC=,DE=EF,DC=BC,

∠DEC+∠FEM=, ∠CDE+∠DEC=，

∠CDE=∠FEM ,

在ΔDCE和ΔEMF中,

∠C=∠M，∠CDE=∠FEM ,DE=EF

ΔDCE≌ΔEMF, FM=CE,CD=EM=BC

BM=EC=FM ,

ΔBMF是等腰直角三角形,

∠FBM=∠FBN=,

∠FNB=,FA=FB,

AN=BN=NF=

∠M=∠MBN=∠BNF=,四边形BMFN是矩形,

NF=NB,

四边形BMFN 是正方形,

BM=FN= CE=EB=

②如图2中,

当BA=BF时,由(1)可知,ΔBNF是等腰直角三角形, BF=AB=1,

BM=CE=FN=,

EB=BC-CE=1-

故答案为或1-.