Question

在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF．

（1）观察猜想

如图1，当点D在线段BC上时，

①BC与CF的位置关系，

②BC，CD，CF之间的数量关系为；

（2）数学思考

如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；

若不成立，请你写出正确结论再给予证明；

（3）拓展延伸

如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE．若已知AB=2，CD=BC，求CF，EG.

Answer

(1) ①垂直,②BC=CF+CD;(2) CF⊥BC成立;BC=CD+CF不成立,为CD=CF+BC；

(3)CF=5；EG=.

【解析】

(1)①根据正方形的性质得到∠BAC=∠DAH=, 推出ΔDAB≌ΔFAC, 根据全等三角形的性质即可得到结论; ②由正方形ADEF的性质可推出ΔDAB≌ΔFAC, 根据全等三角形的性质得到CF=BD, ∠ACF=∠ABD, 根据余角的性质即可得到结论;

(2) 根据正方形的性质得到∠BAC=∠DAF=, 推出ΔDAB≌ΔFAC, 根据全等三角形的性质以及等腰直角三角形的角的性质可得到结论.

(3) 根据等腰直角三角形的性质得到BC=AB=4, AH=BC=2, 求得DH=3, 根据正方形的性质得到AD=DE, ∠ADE=, 根据矩形的性质得到NE=CM, EM=CN, 由角的性质得到∠ADH=∠DEM, 根据全等三角形的性质得到EM=DH=3,DM=AH=2, 等量代换得到CN=EM=3, EN=CM=3, 根据等腰直角三角形的性质得到CG=BC=4,根据勾股定理即可得到结论.

【解析】
(1)正方形ADEF 中, AD=AF ,

∠BAC=∠DAF=,∠BAD=∠CAF,

在ΔDAB与ΔFAC中,

∠BAD=∠CAF,AB=AC， AD=AF

ΔDAB≌ΔFAC (SAS),

∠B=∠ACF,

∠ACB+∠ACF=,即 BC⊥CF;

故答案为:垂直;

②ΔDAB≌ΔFAC,

CF=BD,

BC=BD+CD,

BC=CF+CD;

故答案为: BC=CF+CD;

(2)CF⊥BC成立;BC=CD+CF不成立,CD=CF+BC.

正方形ADEF 中, AD=AF,

∠BAC=∠DAF= ,

∠BAD=∠CAF ,

在ΔDAB与ΔFAC中,

∠BAD=∠CAF ,AB=AC， AD=AF

ΔDAB ≌ΔFAC(SAS),

∠ABD=∠ACF ,

∠BAC=, AB=AC,

∠ACB=∠ABC=.

∠ABD=-= ,

∠BCF=∠ACF-∠ACB=-=，

CF⊥BC.

CD=DB+BC , DB=CF ,

CD=CF+BC.

(3)过A作AH⊥BC于H,过E作EM⊥BD于M，EN⊥CF于N,

∠BAC= , AB=AC,

BC=AB=4,AH=BC=2 ,

CD=BC=1,CH=BC=2 ,

DH=3,

由(2)证得BC⊥CF, CF=BD=5,

四边形ADEF 是正方形,

AD=DE,∠ADE= ,

BC⊥CF, EM⊥BD, EN⊥CF,

四边形CMEN是矩形,

NE=CM,EM=CN,

∠AHD=∠ADC=∠EMD=,

∠ADH+∠EDM=∠EDM+∠DEM=

∠ADH=∠DEM ,

在ΔADH与ΔDEM中,

∠ADH=∠DEM ,AD=DE, ∠AHD=∠DME

ΔADH≌ΔDEM(AAS),

EM=DH=3 , DM=AH=2,

CN=EM=3, EN=CM=3 ,

在ΔFNE与ΔDME中，

FE=DE,NE=EM,∠FNE=∠DME=

ΔFNE≌ΔDMEZ,FN= DM=2

CF=CN+ DM=5

∠ABC=45 ,∠BGC=45 ,

ΔBCG是等腰直角三角形,

CG=BC=4,

GN=1,

EG=.