Question

如图，直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y=﹣x²+bx+c与直线y=c分别交y轴的正半轴于点C和第一象限的点P，连接PB，得△PCB≌△BOA（O为坐标原点）．若抛物线与x轴正半轴交点为点F，设M是点C，F间抛物线上的一点（包括端点），其横坐标为m．

（1）直接写出点P的坐标和抛物线的解析式；

（2）当m为何值时，△MAB面积S取得最小值和最大值？请说明理由；

（3）求满足∠MPO=∠POA的点M的坐标．

Answer

（1）点P的坐标为（3，4），抛物线的解析式为y=﹣x2+3x+4；（2）当m=0时，S取最小值，最小值为；当m=3时，S取最大值，最大值为5．（3）满足∠MPO=∠POA的点M的坐标为（0，4）或（，）．

【解析】（1）代入y=c可求出点C、P的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A、B的坐标，再由△PCB≌△BOA即可得出b、c的值，进而可得出点P的坐标及抛物线的解析式；

（2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出点F的坐标，过点M作ME∥y轴，交直线AB于点E，由点M的横坐标可得出点M、E的坐标，进而可得出ME的长度，再利用三角形的面积公式可找出S=﹣（m﹣3）2+5，由m的取值范围结合二次函数的性质即可求出S的最大值及最小值；

（3）分两种情况考虑：①当点M在线段OP上方时，由CP∥x轴利用平行线的性质可得出：当点C、M重合时，∠MPO=∠POA，由此可找出点M的坐标；②当点M在线段OP下方时，在x正半轴取点D，连接DP，使得DO=DP，此时∠DPO=∠POA，设点D的坐标为（n，0），则DO=n，DP=，由DO=DP可求出n的值，进而可得出点D的坐标，由点P、D的坐标利用待定系数法即可求出直线PD的解析式，再联立直线PD及抛物线的解析式成方程组，通过解方程组求出点M的坐标．综上此题得解．

（1）当y=c时，有c=﹣x2+bx+c，

解得：x1=0，x2=b，

∴点C的坐标为（0，c），点P的坐标为（b，c），

∵直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，

∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，3），

∴OB=3，OA=1，BC=c﹣3，CP=b，

∵△PCB≌△BOA，

∴BC=OA，CP=OB，

∴b=3，c=4，

∴点P的坐标为（3，4），抛物线的解析式为y=﹣x2+3x+4；

（2）当y=0时，有﹣x2+3x+4=0，

解得：x1=﹣1，x2=4，

∴点F的坐标为（4，0），

过点M作ME∥y轴，交直线AB于点E，如图1所示，

∵点M的横坐标为m（0≤m≤4），

∴点M的坐标为（m，﹣m2+3m+4），点E的坐标为（m，﹣3m+3），

∴ME=﹣m2+3m+4﹣（﹣3m+3）=﹣m2+6m+1，

∴S=OA•ME=﹣m2+3m+=﹣（m﹣3）2+5，

∵﹣＜0，0≤m≤4，

∴当m=0时，S取最小值，最小值为；当m=3时，S取最大值，最大值为5；

（3）①当点M在线段OP上方时，∵CP∥x轴，

∴当点C、M重合时，∠MPO=∠POA，

∴点M的坐标为（0，4）；

②当点M在线段OP下方时，在x正半轴取点D，连接DP，使得DO=DP，此时∠DPO=∠POA，

设点D的坐标为（n，0），则DO=n，DP=，

∴n2=（n﹣3）2+16，

解得：n=，

∴点D的坐标为（，0），

设直线PD的解析式为y=kx+a（k≠0），

将P（3，4）、D（，0）代入y=kx+a，

，解得：，

∴直线PD的解析式为y=﹣x+，

联立直线PD及抛物线的解析式成方程组，得：，

解得：，．

∴点M的坐标为（，）．

综上所述：满足∠MPO=∠POA的点M的坐标为（0，4）或（，）．