Question

如图，已知抛物线y=ax²+x+4的对称轴是直线x=3，且与轴相交于A、B两点（B点在A点的右侧），与轴交于C点．

（1）A点的坐标是　   　；B点坐标是　   　；

（2）直线BC的解析式是：　   　；

（3）点P是直线BC上方的抛物线上的一动点（不与B、C重合），是否存在点P，使△PBC的面积最大．若存在，请求出△PBC的最大面积，若不存在，试说明理由；

（4）若点M在x轴上，点N在抛物线上，以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M点坐标．

Answer

（1）A（，0） B（8，0）；（2） ； （3）存在点P，使△PBC的面积最大，最大面积是16 ；（4）（，0），（4， 0），（，0），（，0）.

【解析】

可得a的值，求出解析式.由解析式可得出C和B的坐标，从而得出直线的解析式.运用假设法，连接辅助线可以设出P,D的坐标，表达出相应△PBC的面积解析式，分析可得出结果.由平行四边形的定义可求出答案.

（1）A（，0） B（8，0）；

（2） ；

（3）假设存在点P，连结PB、PC，过点P作PD∥y轴交直线BC于点D，

设点P（m，）

则点D（m，）

所以PD=

=

∴

∵点P是直线BC上方的抛物线上的一动点（不与B、C重合）

∴

∴当时，△PBC的面积最大，最大面积是16

∴存在点P，使△PBC的面积最大，最大面积是16

（4）（，0），（4， 0），（，0），（，0） .